Репетитор по математике о методике вынужденных равенств

В школьной программе существует немало тем, к работе с которыми репетитор по математике прикладывает дополнительные усилия. В каждом классе таких тем найдется, как минимум, пара-тройка. Учитывая особенностей детского запоминания и скорости производимых ими умственных операций репетитору по математике приходится упрощать строгие обоснования, близкие к научным, ограничиваясь простыми примерами и задачами. Особенно часто и продуктивно методика примеров работает в 5 — 6 классе, в том возрасте, когда ребенок не ощущает потребность в полновесном и комплексном обосновании изучаемого. Более того, ребенок не в состоянии его воспринять полностью. Именно поэтому репетиторы по математике поголовно преподносят большинство элементарных основ и правил в 6 классе в декларативной форме: «Делай так, потому, что это правильно и не задавай лишних вопросов». Вот и все объяснение. Минус на минус дает плюс и будь любезен это запомнить. А почему именно плюс, 90% репетиторов по математике толком ответить не могут.

Однако, если с Вами работает наблюдательный репетитор – толковый математик и педагог в одном лице, подготовленный к тому же еще и методически, то шансы получить приемлемые для 5 — 6 класса объяснения элементарных правил окажутся на порядок выше. В школах практически не рассказывают о причинах, побудивших создать «математическую азбуку» именно такой, какой ее знает любой мало-мальски грамотный выпускник. В этой статье я покажу простой метод, с помощью которого ребенку станет понятно, почему -5\cdot (-3)=+15 .

Подготовительная работа репетитора по математике

До обоснования правила умножения двух отрицательных чисел репетитору следует сначала обосновать тот факт, что при умножении положительного и отрицательного получается отрицательный результат, а модули чисел перемножаются. Это поясняется в учебниках, но далее возникает чувство, что тебя держат за дурака.

Умножение есть не что иное, как сокращенное обозначение результата сложения нескольких одинаковых слагаемых. В этом свете весьма логично будет сохранить это правило для отрицательных чисел и использовать запись -5 \cdot 3 для сокращенного обозначения суммы -5 + (-5) +(-5) . Предположим, что репетитор по математике уже провел работу с темой «сложение отрицательных чисел» и его ученик с легкостью мышления Леонарда Эйлера :) выдаст в примере ответ -15. Отлично. Тогда ему не составит большого труда смекнуть, что минус в ответ приходит потому, что складываются только отрицательные слагаемые (их 3 штуки), а модули умножаются по причине сложения равных модулей.

Разобравшись с умножением разнозначных чисел репетитору по математике впору перейти к главному аспекту. Учебники, на самом то деле, плохому учат, а именно искажают логические принципы получения выводов, основанных ни на чем. Говорится, что добавление «минуса» к одному из множителей примера 3 \cdot 5 =15 меняет знак ответа на противоположный, поэтому, внимание « добавление второго знака поменяет его дважды, и мы получим положительное число 15». Приехали :). Разве это объяснение? Вот откуда берется непонимание, страх и даже ненависть к математике вместе с ее репетитором, с которым приходится заниматься в время, которое можно было бы потратить на более приятные занятия.

Правильным, на мой взгляд, будет воспользоваться главным принципом правил расширения числовых множеств, а именно: математические законы должны быть справедливыми и для новых чисел. То есть, если от перемены мест слагаемых сумма натуральных чисел не изменяется, то ровно так же должны себя вести и рациональные числа, иначе мы не сможем правильно преобразовывать буквенное выражение и, как следствие, решать уравнения, не зная наперед, какое число обозначено иксом: целое или дробное. Этот же принцип заложили наши предки –математики, которые еще в древности научились управлять отрицательными числами. Важнейший распределительный закон должен выполняться. Следствием его непоколебимого величия как раз и является тот факт, что «минус на минус будет плюс». Иначе он потеряет верность.

Строгое доказательство этого факта в «основании математике» проводится, естественно, в произвольно-буквенном виде, что позволяет вести рассуждения без потери общности. Безусловно, репетитору по математике не стоит показывать такое доказательство ни в 6 классе, ни даже в 11 классе.

При работе в 5 — 6 классе необходимо учитывать важную особенность детского мышления, а именно принцип усвоения «от частного к общему», позволяющий экстраполировать подмеченные особенности тех или иных частных результатов на общие законы. Нужно подобрать удобное третье число к -5 и -3 и составить с тремя числами верное равенство с помощью распределительного свойства, из которого будет понятно, что -3 \cdot -5 =+15 . Репетитор по математике получит ответ 15 непосредственно в действиях и убедит ученика в логичности общего правила. Числам просто будет некуда завести репетитора, кроме получения правильного ответа. Таким образом злободневный вопрос о знаке и действиях с модулями обоснованно отпадет.

Мы подходим к главной части методики. Итак, репетитор по математике призывает на помощь какое-нибудь число, например 4 , и записывает с его участием слудующее равенство -5 \cdot (-3  + 4) = -5 \cdot (-3) + (-5) \cdot 4 . Его верность подкреплена распределительным законом.Объяснения репетитора по математике через распределительный закон

Заметим, что к моменту объяснения нового правила все используемые арифметические действия оказываются в полной мере обоснованными (пара отрицательных множителей только одна) и не вызывают лишних вопросов у учеников. В левой части репетитор получает очевидный ответ -5, а в правой – сумму неизвестного результата (числа, обозначаемого как -5 \cdot (-3)) и числа -20. Очевидно, что единственным вариантом сохранить равенство остается вставка слагаемого +15 вместо неизвестного до данного момента обозначения -5\cdot (-3).

Вот так, легко, внятно и быстро можно растопить огромный айсберг недопонимания, отвечая популярный ученический вопрос: «Почему минус на минус будет плюс?». Многие стесняются спрашивать репетитора по математике о том, что им непонятно и усложняют тем самым дальнейшее изучение предмета. Непонимание накапливается и вырождается в резкое неприятие математики как таковой. Это недопустимо.

Показанный пример является частью используемой методики вынужденных равенств, позволяющей репетитору по математике объяснять скользкие темы в доступной форме. Аналогичным образом объясняется правило введения отрицательных и дробных степеней, умножения обыкновенных дробей и др.

В заключение скажу, что хороший репетитор должен уметь предупреждать проблемы, связанные с расширением понятия «число» до того как программа подойдет к изучению конкретной темы. Важно постоянно напоминать ученику о единстве законов и тогда многие сложные вопросы найдут простые и понятные детям объяснения, близкие к их строгим / полным аналогам.

С уважением, Александр Николаевич, репетитор по математике для 5-11 класса. Москва. Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий