Оптимизация одного упражнения

by Колпаков А.Н. on 10 августа 2010

Страница является дидактическим сопровождением к статье оптимизация индивидуальных занятий по математике

1. Оптимизация репетитором упражнения по алгебре.

Если репетитор возьмет наугад какой-нибудь номер из школьного учебника, то, скорее всего, он окажется в узких рамках одной темы, например, решить уравнение:

uravn_1От ребенка требуется умение правильно возвести обе части в квадрат, решить квадратное уравнение и выполнить проверку. Все!

Занимаясь с частным репетитором по математике весь урок только такими уравнениями можно отточить умение работать с квадратными корнями, но, увы, тригонометрия понемногу будет забываться. Для противодействия этому процессу приходится вкрапливать тригонометрию искусственно, растягивая запись уравнениия. Это и есть оптимизация одного упражнения. Она заключается в максимальном использовании других тем в рамках решения текущего задания.

Используются любые ранее изученные и несложные для конкретного ученика мелкие операции, короткие алгоритмы, не мешающие работать с основным. Например, исходное уравнение можно оптимизировать таким образом:

uravn_2Хороший репетитор по математике не станет оптимизировать упражнение первым попавшимся по руку объектом. Вкраптивание должно быть осмысленным и заставлять ученика возвращаться к тем областям знаний, которые забыты или будут нужны репетитору на ближайших уроках в будущем.

Возможностей оптимизировать задание репетитору предоставляется множество. Например, предложенные коэффициенты квадратных уравнений в 8-ом классе могут быть представлены собой результаты действий с обыкновенными или десятичными дробями, степенями или могут даже на определенном этапе содержать значения тригонометрических функций, например

uravn_3

Оптимизация репетитором геометрической задачи

Репетитор по математике может оптимизировать практически любую геометрическую задачу школьного учебника, например:
treug_4_2Дано:
Равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной, равной 5см.

Найти: радиус вписанной окружности

План решения:
1) найти полупериметр треугольника poluperimetr2) найти площадь треугольника по формуле Герона
form_gerona_5563) приравнять найденную площадь к произведению полупериметра на неизвестный радиус вписанной окружности и найти этот радиус из линейного уравнения.
radiusОтвет:r=1,5

А вот так может выглядеть модификация той же самой задачи, оптимизированная для широкого повторения. Ее решение содержит те же самые пункты вышеизложенного плана, но с большим размахом использования теории:
super_treugДано:
В треугольнике АВС медиана ВМ, равная 4 см, является высотой. биссектриса СN пересекает сторону ВМ в точке К
 
Найдите: отрезок КМ, если CosC



Решение, конечно, более длинное, но зато оно охватывает сразу гнсколько изученных ранее свойств формул:

  • признак равнобедренного треугольника
  • свойство медианы в равнобедренном треугольнике
  • свойство точки пересечения биссектрис (центр вписанной окружности)
  • два свойства степеней с натуральным показателем
  • свойство квадратного корня
  • основное тригонометрическое тождество (для нахождения синуса угла С)
  • определение синуса в прямоугольном треугольнике
  • основное свойство пропорции
  • теорему Пифагора
  • формулу Герона
  • формулу,вычисляющую площадь треугольника через  полупериметр и радиус вписанной окружности.

Преимущества такой постановки задачи очевидны. Вместо того, чтобы повторять каждый пункт в рамках отдельного упражнения (со своими временными затратами на чтение условия, оформление и выполнение рисунка) мы делаем все сразу. Кроме того, ребенку легче выполнять все необходимые операции, потому что преобразования и вычисления используют одни и те же начальные данные и переключение внимания на новые объекты не требуется. Все внимание можно направить на формировании навыков построения алгоритма решения, а не на удержание в памяти особенностей нового объекта (или рисунка) из другой задачи.

Вернемся к алгебре и рассмотрим уравнение:


urav_s_cos4 После всех необходимых преобразований левой части ученик дважды (с разницей в минуту) вынужден заниматься одним и тем же — решением простейшего тригонометрического уравнения вида:


cos_kx_5Простая замена репетитором по математике косинусов на синусы позволяет закончить решение уравнения


Sin_x_5xразличными простейшими:


urav_6 Лучше напомнить сразу и про нули косинуса и про нули синуса, чем тратить время на одно и то же. Полезно бывает вставить какой-нибудь основной угол (границу четверти) под знак одной из функций для применения на старте решения еще и формулы приведения, например:Sinx_Cos5x_prived


Если целью занятия у репетитора по математике является не повторение, а ознакомление с новым методом решения задачи, то быстрое «дублирование» показанного алгоритма уже несет в себе уже функцию оптимизации формирования навыков.

Очевидным преимуществом для запоминания решения типовых задач имеют те из них, которые содержат в себе перебор различных вариантов (разбор случаев). Репетитор по математике может разобрать решение в первом случай самостоятельно (например, при работе остроугольным треугольником), а другой случай (с тупоугольным) поручить ученику. Если случаев более двух — разбор третьего можно задать на дом. Ученик лучше запомнит все этапы плана, если между его демонстрацией и его воплощением на практике проходит минимальное время.

Разбор случаев может приводить к различным обращениям к соседним темам. Тогда мы имеем уже оптимизированное задание для повторения. Например, при решении тригонометрических уравнений с участием суммы и произведения синуса и косинуса, при замене Sinx+CosX=t, хорошо бы подобрать такие коэффициенты создаваемого заменой уравнения, чтобы оно имело несколько корней (t1,t2,...) приводящих к различным способам решений в переходе к переменной Х. Например, уравнение


urav_9не оптимизировано, так как после замены получаем уравнение


urav_posle_zamC единственным корнем t=1. А уже уравнение


urav_19c точки зрения оптимизации значительно выгоднее, так как после проведения замены получаем уравнение с двумя корнями.

Хорошо было бы подобрать создаваемые заменой уравнения с тремя корнями. Пусть даже кубическое, один из корней которого равен нулю, второй больше корня из двух, а третий от нуля до корня из двух.

Тогда мы одновременно затронем и тему «однородные уравнения» и тему «область значений тригонометрических функций» и «уравнения вида:aSinX+bCosX=c»

Оптимальной и очень эффективной методикой является «урок одной задачи». Необходимое требовани — наличие у нее нескольких доступных школьнику решений. Оптимизируется одновременно сам урок и сама задача. Не нужно тратить лишнее время и силы на чтение нового условия, не нужно менять рисунок, анализировать и запоминать то, что дано и то, что требуется найти. За короткий промежуток времени репетитор по математике охватит с учеником большее количество теоретического материала и одновременно продемонстрирует красоту и непротиворечивости математической науки. Такими средствами оптимизации урока можно заинтересовать ученика в изучении предмета (читайте статью «как замотивировать ученика»).

Примеры оптимизированных заданий по алгебре

1) Найдите производную функции
оптимизированное задание
2) Напишите уравнение касательной к графику оптимизированное задание2

Репетитор по математике, Колпаков Александр Николаевич.

{ 5 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Шереметьева Галина ноября 19, 2011 в 0:15

Очень интересный подход.

Татьяна Ивановна октября 9, 2012 в 10:46

Уважаемый Александр Николаевич! Я уже неоднократно восхищалась Вашей работой. Я профессиональный математик (+экономист и юрист), в настоящее время работаю репетитором по математике и обществознанию. Мне очень интересен Ваш подход к индивидуальному обучению. Хотелось бы быть взаимно полезными друг другу. А пока желаю Вам успехов и новых достижений.

Колпаков А.Н. октября 9, 2012 в 12:48

Мне интересно поработать над развитием сайта так, он смог быть полезен ученикам, родителям и репетиторам по математике (самого разного калибра). Для этого нужны интересные методические статьи об особенностях проведения индивидуальных уроков математики. Репетиторы, принимающие активное участике в разработке таких материалов будут взяты на заметку при распределении учеников. Также нужны подборки задач по отдельным темам для подготовки к ЕГЭ и ГИА, тесты и видеоуроки по математике. Пишите, звоните и высылайте любые материалы. Помимо учебной работы я помогаю репетиторам с размещением их анкет. Пришлите фотографию и небольшой рассказ о себе, о своих уроках.

Людмила Дмитриевна апреля 24, 2013 в 12:57

Уважаемый Александр Николаевич!
Я тоже занимаюсь репетиторством по математике. Большое Вам спасибо за Ваш сайт! Я восприняла его, как курсы повышения квалификации и как бесценную возможность общения с коллегами.
Ваши идеи решения проблем, с которыми сталкиваются все репетиторы, очень заинтересовали.

Колпаков А.Н. апреля 24, 2013 в 13:23

Да, проблем очень много. От мотивации и дисциплинированности учеников / родителей, до разногласий со школьными преподавателями по математике в плане целесообразности использования конкретных задач и методик.

Оставьте комментарий