Особенности точного введения репетитором по математике понятия иррационального числа

by Колпаков А.Н. on 31 августа 2010

Точное определение понятия «иррациональное число» вводитя в курсе высшей математики. Хороший репетитор по математике должен знать как это делается, хотя бы для того, чтобы не ввязываться с учеником в сложные вопросы теории основания математики. Ребенок не поймет и 10% рассказанного. Однако, при поверхностном объяснении репетитору тоже невозможно обесечить 100%-го понимания. Некоторым образом можно создать его иллюзию. Об этом вы прочтете на странице о методике работы репетитора по математике с понятием «иррациональное число» В большинстве случаев этого достаточно. Практика решения примеров на квадратные корни в алгебре в сочетании с их востребованностью новых чисел в геометрии поможет ученику со временем перенести их из категории «виртуальных и непонятных» в категорию «реальных».

Однако, эта методика не панацея. Дети бывают разные. Некоторым хочется знать больше и разобраться в вопросе, прежде чем идти дальше. Репетитору по математике в этом случае приходится искать пути обхода сложных доказательств, не теряя при этом целостность и логику изложения, искать некий компромисс между точностью доступностью.

Какие приемы помогут репетитору? Подойти к вопросу лучше всего с краткого экскурса в историю математики. Ее становление как науки шло параллельно с возрастающей потребностью людей измерять все, что их окружает. Требуемая точность и однозначность соответствия числа и того, что оно характеризует, постоянно подталкивала людей к введению новых чисел и расширению известных числовых множеств. Сначала, было достаточно просто пересчитать предметы. Потом захотелось вести учет долей и частей целого объекта, и были введены дроби. Затем потребовалось построение математической модели, способной отличить убыток от прибыли, движение влево от движения вправо и люди придумали отрицательные числа. Но даже их в итоге оказалось недостаточно.

Почему? Арифметика и алгебра представляют собой идеальную модель реального мира, инструмент для высокоточного измерения параметров реальных объектов. Один из таких объектов — отрезок, а его параметр — длина. Представление об отрезке, как об объекте, на который можно смотреть с близкого или дальнего расстояния, сжимать или увеличивать его части под микроскопом, не замечая при этом никаких дырочек и пустот, заставило искать для такого свойства соответствующую математическую модель. Модель, в которой любые мельчайшие отклонения точек друг от друга как то учитывались.

Математический анализ и вся система точного теоретического измерения координат строится на главной аксиоме непрерывности числовой оси: между двумя различными точками (концами отрезка) существует еще хотя бы одна точка.


отрезок и точкаМожно предложить эквивалентный заменитель этой аксиомы: любой отрезок можно разделить на сколько угодно частей. Параллельное построение курса геометрии некоторым образом подтверждает правильность выбранной аксиомы, так как есть точный алгоритм разделения отрезка на n равных частей циркулем и линейкой.

У «строителей» математики возникла проблема: какую числовую запись придумать для координат всех точек, лежащих на отрезке. Именно они служат длинами отрезков, отложенных от начала координат, а длина — есть число.

Была придумана десятичная система с бесконечной последовательностью цифр от 0 до 9. Каждую точку на оси можно закодировать таким способом. Как? Возьмем какую-нибудь точку на координатной прямой. К примеру, пусть она является концом отрезка длины 3/7. В начале находим, между какими целыми числами оси находится данная точка. Записываем левую координату и ставим запятую. Отрезок, в который точка попадает при целочисленной разметке, делим на 10 равных частей и подписываем у каждого мелкого отрезка его номер от 0 до 9 как показано на рисунке:


Единичный отрезокСмотрим, в какой отрезок попадает наша точка (координата, число) и пишем этот номер после запятой. В нашем случае это число 4. Теперь этот отрезок снова делим на 10 равных частей.


внутреннее разбиение текущего 4-го отрезкаСнова Нумеруем образованные мелкие отрезки, находим, в каком из них лежит наша точка и его номером продолжаем десятичную запись 0,42...

Точно также поступаем с отрезком номер 2.

Получим БЕСКОНЕЧНУЮ последовательность цифр от 0 до 9 или десятичную запись расположения точки, ее числовой код. Таким образом можно записать код любой точки координатной прямой. И наоборот, по тереме Кантора о вложенных отрезках (из высшей математики), каждый бесконечный набор отрезков (цифр после запятой) имеет только одну общую точку. Ее десятичный код — последовательность их номеров.

Заметим, что точка может на каком-то шаге попасть в «разделительную отметку». Тогда она попадает сразу в два отрезка, Это означает, что у нее будет 2 числовых кода. Например, середина единичного отрезка на первом же шаге лежит в отрезках с номерами 4 и 5.
середина отрезка
Продолжая код с четверкой получим 0, 499999... а пятый отрезок даст проложить код так 0,500000... (так как точка, попавшая в левую границу при всех следующих разделениях будет всегда лежать в левом отрезке (в нулевом). Нули после последней значимой цифры решили не писать и оформлять более коротко 0,5.

Репетитор по математике здесь может указать ребенку на то, что в пятом классе объяснить существование двух форм записи чисел невозможно. Легче объясняется снятие нулей, именно поэтому принималась форма с нулями и писали 0,5000... или коротко 0,5.

Стоит отметить, что на вопрос репетитора по математике о сравнении чисел 0,99999... и 1, примерно 999 школьников из тысячи поставят знак «больше» к единицк. На самом деле числа равны.

Читайте далее на следующей странице.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Pages: 1 2