Тригонометрические формулы и определения

by Колпаков А.Н. on 13 сентября 2010

Справочные материалы по тригонометрии. Формулы. Определения и свойства.

Комплект предназначен для слабых и средних по уровню учащихся, для репетиторов по математике и школьных преподавателей. Он специально адаптирован мной для слабых и средних по уровню учеников. В материалах применяются, на мой взгляд, лучшие приемы уменьшения нагрузки на память и упрощения работы с большими объемами информации. Их содержание дает репетитору по математике возможность преподнести тригонометрию в удобной для работы и для запоминания форме. В помощь репетитору по математике, работающему со слабыми учащимися, я специально исключил из списка формул те, которые не входят в основную программу, а также сложные формулы и различные формулы-следствия.

Определение тригонометрических функций:
определения тригонометрических функций

Определение: синусом угла поворота на называется ордината точки, изображающей данный угол.
Определение: косинусом угла поворота называется абсцисса точки, изображающей данный угол.
Определение: тангенсом угла поворота называется отношение ординаты точки, изображающей угол, к ее абсциссе.
Определение: котангенсом угла поворота называется отношение абсциссы точки, изображающей данный угол к ее ординате.

Основные тригонометрические свойства:
Sin^2x+Cos^2x=1 (основное тригонометрическое тождество)

tg x=\dfrac{Sinx}{Cosx}

ctg x=\dfrac{Cosx}{Sinx}

tg x \cdot ctgx=1

1+ tg^2x=\dfrac{1}{Cos^2x}

1+ctg^2x=\dfrac{1}{Sin^2x}

Четность и нечетность тригонометрических функций:

Sin(-x)= - Sinx нечетная

Cos(-x)=Cosx четная

tg(-x)=-tgx нечетная

ctg(-x)=-ctgx нечетная

примечание репетитора по математике:
функция незывается нечетной, если противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
Функция называется четной, если  противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Знаки тригонометрических функций
знаки тригонометрических функцийТаблица значений тригонометрических функций
Щелкните на таблице для ее увеличения.
таблица значений тригонометрических функций

Прочтите о том, как репетитору по математике заучить с учеником таблицу значений.

Формулы приведения:

Чтобы написать правую часть формул приведения нужно:
1) найти четверть в которой лежит угол в скобках, считая X острым углом.
2) поставить знак данной функции в данной четверти.
3) сменить или сохранить функцию.
При \dfrac {\pi}{2} или \dfrac{3\pi}{2} функция меняется (Sinx \leftrightarrow Cosx , tgx \leftrightarrow ctgx )
При \pi или 2\pi функция не меняется.

Формулы сложения углов:

Sin (\alpha + \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)+Cos(\alpha)Sin(\beta)

Sin (\alpha - \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)-Cos(\alpha)Sin(\beta)

Cos (\alpha + \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)-Sin(\alpha)Sin(\beta)

Cos (\alpha - \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)+Sin(\alpha)Sin(\beta)

Формулы двойного угла:

Sin2x=2SinxCosx

Cos2x=Cos^2x-Sin^2x=1-2Sin^2x=2Cos^2x-1

1+Cos2x=2Cos^2x ,  Cos^2x=\dfrac{1+Cos2x}{2}

1-Cosx2x=2Sin^2x ,  Sin^2x= \dfrac{1-Cos2x}{2}

tg2x=\dfrac{2tgx}{1-tg^2x}

ctg2x=\dfrac{ctg^2x-1}{2ctgx}

Формулы сложения тригонометрических функций:

Sin\alpha+Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)

Sin\alpha-Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)

Cos\alpha+Cos\beta=2Cos\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)

Cos\alpha-Cos\beta=-2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)

Простейшие тригонометрические уравнения:

1) Уравнения вида Sinx=a

простейшее тригоном уравнение с синусом_ Уравнения вида Sinx=a ,
a \in [-1;1]
Частные формулы:

x_1=arcSin(a)+2\pi n
x_2=\pi - arcSin(a)+2\pi n
где n \in Z
Общая формула:
x=(-1)^n arcsin(a) + \pi n ,
где n \in Z
Удобные случаи

2) Уравнения вида Cosx=a

простейшее тригоном уравнение с косинусомУравнения вида Cosx=a ,
a \in [-1;1]

Частные формулы:
x_1=arccos(a)+2\pi n
x_2= - arccos(a)+2\pi n
где n \in Z
Общая формула:
x=\pm arccosa+2\pi n,
где n \in Z
Удобные случаи

1) Уравнения вида tgx=a

простейшее тригонометрическое уравнение с тангенсом Уравнения вида
tgx=a ,
a \in (- \infty; + \infty )
Частные формулы:

x_1=arctg(a)+2\pi n
x_2=arctg(a)+\pi+2\pi n
где n \in Z
Общая формула:
x=arctg(a) + \pi n ,
где n \in Z
Решение на круге.


1) Уравнения вида ctgx=a

простейшее тригонометрическое уравнение с котангенсом Уравнения вида
ctgx=a ,
a \in (- \infty; + \infty )
Частные формулы:

x_1=arcctg(a)+2\pi n
x_2=arcctg(a)+\pi+2\pi n
где n \in Z
Общая формула:
x=arcctg(a) + \pi n ,
где n \in Z
Решение на круге.


Предлагаю репетиторам по математике использовать на своих занятиях материалы сайта в реальном времени. Часто во время занатия дети не выключают компьютер. Загрузите страничку с формулами и начинайте урок.

Вместо распечатывания формул на листочке дайте ученику ссылку на страницу или попросите сделать ее стартовой при входе в интернет. Это увеличит частоту появления формул перед глазами ученика и они быстрее запомнятся.

С уважением, Колпаков Александр Николаевич.
Репетитор по математике Москва.

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Анатолий Новиков декабря 30, 2012 в 23:09

Формула косинуса разности углов отсутствует, а суммы углов повторяется.

Оставьте комментарий