Определения и свойства обратных тригонометрических функций

by Колпаков А.Н. on 15 сентября 2010

Обратные тригонометрические функции:


область значений арксинуса
Определение:
Арксинусом числа а называется угол из отрезка \left [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right ] , синус которого равен числу а.

Свойство арксинуса от отрицательного угла :

arcsin(-a)=-arcsin(a)

область значений арккосинуса
Определение:
Аркосинусом числа а называется угол из отрезка \left [ 0;\pi \right ] , косинус которого равен числу а.

Свойство арккосинуса от отрицательного угла :

arccos(-a)=\pi -arccos(a)

Область значений арктангенса. Рисунок репетитора
Определение:
Арктангенсом числа а называется угол из интервала \left (-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right ) , тангенс которого равен числу а.

Свойство арктангенса от отрицательного угла :

arctg(-a)=-arctg(a)

область значений арккотангенса

Определение:
Арккотангенсом числа а называется угол из интервала (0;\pi) , котангенс которого равен числу а.

Свойство арккотангенса от отрицательного угла :

arcctg(-a)=\pi -arcctg(a)

Дополнительные свойства обратных тригонометричесикх функций:

Sin (arcsin(a)) = a, если |a|\leqslant 1 ;

Cos (arccos(a)) = a, если |a|\leqslant 1 ;

tg (arctg(a)) = a, если a \in R ;

ctg (arcctg(a)) = a, если a \in R ;

arcsin(sinx)=x , если x \in \left [ - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right ] ;

arccos(cosx)=x , если x \in [0;\pi] ;

arctg(tg)=x , если x \in \left ( - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right ) ;

arcctg(ctgx)=x , если x \in (0;\pi)

sin(arccos(a))=cos(arcsin(a))=\sqrt{1-a^2} , если a \in [-1;1]

Cos (arctg(a))=Sin(arcctg(a))=\sqrt{\dfrac{1}{1+a^2}} , если a \in (-\infty;+\infty)

Справочные материалы по обратным тригонометрическим функциям предназначены для учащихся 10-11 классов, школьных преподавателей и репетиторов по математике. Рекомендуется использовать материалы на уроках по тригонометрии и подготовке к ЕГЭ по математике.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

{ 3 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Михаил Евгеньевич декабря 4, 2012 в 8:15

Уважаемый Александр Николаевич, в очередной раз благодарю Вас за возможность воспользоваться иллюстрированной подборкой (с графикой и формулами на компе у меня пока плохо). Могу поделиться опытом по данному материалу: ученики лучше запоминают интервалы углов обратных тригоном. функций, если им объяснить почему они (интервалы ) именно такие. Обычно 1 — 3 кратное объяснение репетитора по математике существенно улучшает указанное «знание углов». С уважением, Резницкий М.Е.

Елизавета Витальевна мая 31, 2013 в 14:21

Спасибо большое!

Андрей октября 7, 2015 в 5:27

Спасибо за доступно изложенную информацию!

Оставьте комментарий