Как репетитору по математике составить и как учить с учеником таблицу значений тригонометрических функций

by Колпаков А.Н. on 17 сентября 2010

Запоминание таблицы значений тригонометрических функций — актуальная тема не только для старшеклассников, но и для самих учителей и репетиторов по математике, которые часто не могут правильно расставить акценты на особенностях таблицы и тем самым вносят дополнительные препятствия для ее использования. Чего только я не насмотрелся в тетрадях учеников за годы моей практики. Такое впечатление, что сами учителя и репетиторы не знают, как лучше действовать. Кто-то предлагает отдельные таблицы для прямых и отдельно для обратных тригонометрических функций. Кто-то предлагает тригонометр, записи с неудобным представлением самих значений функций и используют, например, вместо числа \dfrac{\sqrt{2}}{2} выбивающегося из общего правила \dfrac{1}{\sqrt{2}} . По моей статистике примерно 90\% детей не могут самостоятельно отследить закономерности математических формул и свойств, упрощающие запоминание. Школьные преподаватели не всегда обращают на них внимание и часто именно репетитор по математике открывает ребенку глаза на очевидное.

Что должен делать репетитор по математике?

Я запускаю на занятие некоего помощника – навигатора, позволяющего облегчить ученику запоминание важной для практического решения задач информации. Продумываются сопроводительные подсказки в теоретических шпаргалках, при которых:

  • максимально широкий охват сведений обеспечивается минимальным объемом записей.
  • информацию можно будет получать при помощи неких выявленных особенностей и закономерностей в поведении чисел

Как этот принцип применить к запоминанию таблицы значений?

1) Репетитору по математике следует провести своего рода экскурсию по таблице и рассказать о ее особенностях. Важно заметить, что для перевода углов из градусов в радианы, достаточно вспомнить о том, какой у этих радианов должен получиться знаменатель. \dfrac{\pi}{6} это 30^\circ , а \dfrac{\pi}{3} это 60^\circ .Если у ребенка хотя бы немножко работает ассоциативная память, то он будет помнить, что в «радианных знаменателях» располагаются только числа 3, 4 и 6. Они же стоят в разряде десятков соответствующей им градусной меры. Только тройка соответствует шестерке, шестерка тройке, а четверка (промежуточная цифра) при переходе к 45^\circ сохраняется. Я говорю так — тройка меняется на шестерку, шестерку на тройку, а четверка замирает и остается первой цифрой градусной меры угла 45^\circ.

При переводе 150^\circ можно заметить, что данный угол 5 раз больше чем 30^\circ . Тогда, умножая радианы для 30^\circ на 5, получаем \dfrac{5\pi}{6} .

Значения синусов и косинусов для основных углов 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 360^\circ лучше всего по таблице не смотреть, а вспомнить определение для их функций через тригонометрический круг.

Модули значений функций углов больших 90^\circ cимметричны значениям для углов до 90^\circ . Надо только учесть отрицательные знаки косинуса, тангенса и котангенса во второй четверти.

Репетитору по математике остается выучить с учеником главную часть таблицы. И здесь есть красивые закономерности. Если репетитор дал ученику для тригонометрической таблицы числа \dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, то можно заметить, что если мы представим \dfrac{1}{2} в виде \dfrac{\sqrt{1}}{2}, то получим единую структуру дробей и заучивать придется числа 1,2 и 3. В этот момент ученику станет просто смешно и удивительно: почему он раньше не видел таких закономерностей.

Осталось запомнить порядок. Так как синус в первой четверти возрастает, то большему углу соответствует большее число под корнем. Я говорю так : большему углу — больший синус. Слабому ученику я многократно повторяю: синус работает в прямом порядке : большему большее, а меньшему меньшее. Это повторение слов, как правило, откладывается в его голове.

Легко понять. что с косинусом все наоборот: меньшему углу — больший косинус. Тоже самое выявляется у тангенсов, и котангенсов.

В таблицу значений тангенсов репетитору по математике необходимо записать числа без выбивающегося числа \dfrac{\sqrt{3}}{3}, а именно так: \dfrac{1}{\sqrt{3}} , 1 и \sqrt{3}. Тогда помимо соответствия меньшему — меньшее, а большему — большее тангенсы будут образованы всеми различными комбинациями действий деления чисел: 1 и \sqrt{3}. После таких аналогий 90-95 процентов учеников репетитора по математике не ошибаются в табличных значениях.

Вычисление арксинусов, арккосинусов, арктангенсов...

1. слово арксинус трудно и долго произносимое. Я намеренно проглатываю в некоторых ситуациях слово «синус» и говорю, например, так: для нахождения арка, требуется... Школьники понимают, о чем идет речь, а репетитор по математике при этом может акцентировать внимание на чем-то более важном.

2. В таблице, которую вы видите ниже, специально выделена область красным цветом. Она используется для нахождения арков.

Если табличное число в нее попадает — ученик смотрит на верхнюю строчку. Там располагается соответствующий арк этого числа. . Если он не попадает в таблицу из-за знака, то находим в ней противоположное к нему положительное число, смотрим на верхнюю строчку и добавляем минус к ответу. Например, при вычислении арксинуса числа -\dfrac{1}{2} ученик ищет аксинус от \dfrac{1}{2} и ставит минус у \dfrac{\pi}{6}.

таблица значений тригонометрических функций

Для запоминания того, какие области обведены можно указать на такую закономерность: два торчащих пальца красной зоны соответствуют тем функциям, которые четные. Зоны углов, которые ими захватываются — это равные области значений именно арккосинуса и арккотангенса. Еще одна закономерность: именно у арккосинуса и арккотангенса схожие формулы нахождения арков от отрицательных чисел. И в одной и в другой получается \pi минус арк от противоположного положительного числа.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике. Строгино. Москва.

Метки: Заучивание формул, Репетиторам по математике, Справочник репетитора, Ученикам

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий