Репетитор по математике о роли ошибки в процессе обучения

Учить ребенка математике, как я понимаю свой дело, это учить, в частности, характерному для нее (и для науки вообще) максимально добросовестному и ответственному отношению к полученному результату. А это означает, что репетитор по математике должен обучать умению его проверять.

Размышления на тему ошибок связаны с осмыслением расхожего выражения «на ошибках учатся». На каких ошибках? Как учатся? А почему не говорят «на ошибках учат»? Имеет ли право ученик на ошибку, на какую и когда? Вопросов возникает множество. Попробуем в них разобраться.

Да, конечно, на ошибках учатся, на чужих и на своих. Для этого необходимо, чтобы ошибка была сначала опознана, затем осмыслена и классифицирована. Но если репетитор по математике хочет, чтобы его ученик умел найти ошибку, а затем ее осмыслил, то репетитору необходимо выйти с ним на некий вид деятельности, а именно на критическую деятельность. Она не может возникнуть из воздуха, и выходит, что такой деятельности нужно обучать. Значит, прежде чем согласиться с фразой : «на ошибках учатся», надо, видимо, сказать: «на ошибках учат». Такие довольно очевидные рассуждения приводят к соответствующей работе репетитора по математике и ученика.

Как учить на ошибках? Всем известно, что лучше всего учиться на чужих ошибках, чем на своих. В обучении эта истина приобретает еще большее значение, потому что вариантов ошибиться существует множество. Уделяя каждому из них хотя бы немного времени, репетитору по математике легче будет решить вопрос о содержании своего занятия со слабым учеником, которого нельзя переключать с одной темы на другую, не обеспечив достаточным количеством простых упражнений. Смакуя типичные ошибки других учеников, репетитор по математике решает одну из важнейших задач методики преподавания — удержать внимание на важных особенностям материала. А, как известно, время — главный движущий фактор успешного запоминания, если им правильно воспользоваться.

Именно поэтому репетитор по математике имеет полное право показывать ошибки, не дожидаясь, пока ребенок их совершит. Однако данная методика, как и любая другая, не является панацеей и должна применяться по ситуации в зависимости от ученика. Опыт и профессиональное чутье репетитора по математике обычно подсказывает кому из учеников нужно показывать ошибки вперед, а кому , наоборот, дать возможность их совершить. В любом случае на каждую ошибку, с какой бы методикой репетитор не работал, нужно потратить время. Главная цель привлечения к ней внимания — запоминание и предупреждение ошибки.

Не всем ученикам требуются предостережения репетитора. Некоторые никогда не совершат тех ошибок, о которых ему будет сообщать репетитор. Если репетитор это не чувствует, и работают по принципу «моя методика универсальна» и ее нужно применять для всех, то в половине случаев потратит время впустую.

Показывать ошибки можно по-разному. Репетитору стоит взять на вооружение метод ее самопроявления. Например, сделав неверный ход в раскрытии скобок по формуле квадрата суммы можно предложить вычислить значения в разных частях полученного равенства и убедиться, что результаты не сходятся. Или, сложив исходное неравенство x > 1 с ошибочно записанным после него x < -1 (ребенок забыл поменять знак у неравенства), получить неравенство $(x-1)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+\sqrt{x^2-1}=2x-4$

Если абитуриент внесет множитель х — 1 под знак первого корня так, как привык это делать с числами, то в ответе уравнения получит число $-\dfrac{5}{4}$ . Однако при проверке и подстановке его в исходное уравнение выяснится, что оно не подходит. Вместе с тем репетитор по математике может указать ребенку на число -2, которое является корнем, но почему-то в полученный ответ не попадает. Более чем странный расклад. Как минимум удивление ученику гарантировано. Он начнет проверять все те места, где допускал ошибки раньше в других заданиях : вычисления , сокращения, переносы слагаемых, работу равносильных переходов. Проверит все, что только можно отнести к реализации алгоритмов, но никак не их обоснованность. Маскировка ошибки состоит в подмене положительного числа, которое ребенок не раз вносил под знак корня буквенным выражением, которое может принимать не только положительные значения. Эта ошибка может служить мостиком к обучению работы с методом раскалывания ОДЗ на части и решения уравнения на каждой их них по-своему. Правильным будет сначала поискать решения среди чисел x > 1 , отобрать которые можно проверяя равенство :

$\sqrt{\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{x-1}}+\sqrt{x^2-1}=2x-4$ .
Решив уравнение, мы получим пустое множество, так как $-\dfrac{5}{4}<1$

Затем рассмотреть числа х<1 и заменить проверку начального равенства на такое:

$-\sqrt{\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{x-1}}+\sqrt{x^2-1}=2x-4$ .
Решив уравнение, получим корень x=-2.

Показывать ошибки можно по-разному. Можно указать три пути:

Первый путь — «лобовой» Можно написать — $a=b \Longleftrightarrow f(a)=f(b)$ Но она верная в том случае, когда функция строго монотонна, а числа $a$ и $b$ входят в ее область определения. Иначе можно доказать, что
1) $-1 = 1$ (возведением равенства в квадрат)
2) $\pi = 0$ (взяв синус от обеих частей равенства)