Нужна ли проверка решения текстовой задачи?

by Колпаков А.Н. on 19 сентября 2010

Сегодня все реже и реже в кругу преподавателей, методистов и репетиторов по математике возникают споры на около учебные методические темы. Одной из них является вопрос о необходимости обучения проверке в текстовых задачах. С приходом ЕГЭ по математике качественно изменилось содержание дискуссий вообще, и полемика о необходимости и правильности перехода на ЕГЭ перебила все рекорды по количеству споров и затмила собой все, что только можно затмить.

Однако, вопрос о проверке так и остался открытым. Для того, чтобы было понятно о чем пойдет дальше речь, давайте начнем с примера такой задачи: «В трех баках было всего 50л бензина, причем в первом баке было на 10 литров больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в третий 26 литров, во втором и третьем стало поровну. Сколько бензина было первоначально в первом баке?» Я много раз предлагал эту задачу ученикам-абитуриентам и даже репетиторам по математике. Обычно ответ поступал через несколько минут, а решение выглядело примерно так: пусть во втором баке было сначала х литров, тогда в первом баке было x+10 литров, а в третьем баке было 50-x-(x+10)=40-2x литров. После переливания из первого бака в третий 26 литров в последнем стало 40-2x+26=66-2x литров. По условию задачи этот объем равен тому, который был во втором баке. Поэтому составим уравнение:


уравнение в задаче с бакамиРешением уравнения будет х=22.
Большинство репетиторов по математике, школьных преподавателей и учеников, получив ответ в такой задаче, спрашивало: «ну и что же такого особенного в этой задаче?» И ожидаемая реплика : «решения нет» на удивление слышалась крайне редко.

Отшлифовки алгоритмов решения задач, которыми грешит современная школа, программируют и учеников и репетиторов. Предубеждение о том, что ответ в текстовой задаче непременно есть, начисто стирают из памяти привычку критически относиться к результатам решения.
Раньше, когда я еще учился в МПГУ, бушевали страсти по аккуратному использованию предлагаемых в школе алгоритмов и в одном из журналов «математика в школе» было напечатано письмо-вопрос учительницы Т.Н. Поляковой из Москвы под названием «нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление уравнений?».

Тогда существовала такая странная точка зрения: проверка, мол состоит в том, что нужно составить новую задачу, в которой некоторое данное исходной задачи считается неизвестным, а прежнее неизвестное считается известным и решить новую задачу. Считалось, что тем самым проверяем, правильно ли было составлено само уравнение в исходной задаче. Непосвященный человек не поймет о чем идет речь, однако если другими словами сформулировать идею, то она будет звучать так: берется найденное значение неизвестной величины и считая его известным начальным данным прогоняется все условие задачи. Вычисляются все входящие величины, проверяется их соответствие смыслу задачи.

И действительно, если репетитору по математике подойти к вопросу с баками с точки зрения строгой логики, то , вообще то говоря, мы получили лишь то, что если решение задача имеет, то оно находится во множестве корней уравнения


уравнение в задаче с бакамиНо вся суть в том, что «если имеется». А если его нет? Получаем классическое математическое условие-следствие. Любой репетитор по математике, профессионально занимающийся вопросами обучения решению задач с параметрами знает, что при получении ответа в алгоритме, построенном на следствии выполнения требований для параметра нужна обязательная проверка множества подчиняющихся этим требованиям параметры. Этот метод решения называется поиском необходимых условий. Удивительно, но почему-то ни один из таких профессиональных репетиторов по математике не догадался проверить ответ задачи на его соответствие условию. Странно, ведь в текстовой задаче мы имеем более простую интерпретацию общих законов логики.

В данном примере задачи на баки надо просто проверить, что при х=22 все переливания возможны и не приводят к появлению отрицательного количества литров в каком-нибудь из баков. Эту проверку число 22 не проходит. Следовательно, решений нет.

Ответ также можно проверить, накладывая переменную дополнительные ограничения в виде системы неравенств:

система к задаче про баки

Очевидно, что x=22 второму условию не удовлетворяет.
Должен ли репетитор по математике, учитывая всеобщее снижение среднего уровня математической грамотности в стране и приходу ЕГЭ по математике еще и обучать делать проверку? Ведь текст задач по умолчанию предполагает наличие решения, а в бланк ответа текстовой задачи B12 на ЕГЭ никогда не придется записывать «нет» решений. Мне кажется, при неспешных занятиях хороший репетитор по математике должен показать хотя бы одну нестандартную задачу, например, про баки. После нее, возможно, кто-то из учеников начнет критически относиться к кажущимся очевидным математическим фактам, результат решений и выводам.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Ольга июля 3, 2012 в 14:15

Здравствуйте, Александр Николаевич. Я 6 лет назад случайно начала заниматься репетиторстом, после успешных занятий по математике, хороших отзывов учеников, решила более серьезно подойти к професии репетитора. 2 года, как собираю наработанный материал, читаю статьи по разным разделам математики. Спасибо, что Вы выставляете свой наработанный материал на всеобщее чтение, побольше бы таких статей и ученики, и учителя были бы более грамотными…

Александр П. февраля 25, 2016 в 1:16

Подвох заметен уже при разборе условия: после перелива в третьем баке как минимум 26 литров, и столько же во втором. Вместе больше 50 — решения быть не может.

А тема хорошая, хотя бы минимальная привычка обдумать и проверить результат должна быть. Любой может ошибиться даже на ровном месте, значит разумно подстраховаться, проверить свои действия.

Так что от целенаправленного обучения проверке репетитору по математике никак не уйти.

Оставьте комментарий