Справочник репетитора по математике. Свойства окружности и ее элементов

by Колпаков А.Н. on 21 сентября 2010



Теоретические справочные материалы по геометрии для выполнения заданий от репетитора по математике. В помощь ученикам при решении задач.

1) Терема о вписанном угле в окружность.


Вписанный в окружность угол Теорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть \angle ABC = \dfrac{1}{2}\smile AC=\dfrac{1}{2}\angle AOC.





2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность.

2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу.
Следствие из теоремы о вписанном угле

Теорема:
если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнителные дуги, их сумма равна 180^\circ)

\angle B=\angle M=\angle N













2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр.
Второе следствие из теоремы о вписанном угле.Вписанный угол опирающийся на диаметр

Теорема:
вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.


AC-диаметр \Longleftrightarrow \angle B =90^\circ





3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол.
Свойство отрезков касательных

Теорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC.


Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.


4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих.
Свойство отрезков хорд_внутреннее пересечение Теорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть

PA  \cdot PB = PD \cdot PC .


Теорема 2:
угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть
\angle APD = \dfrac{\smile CB+\smile AD}{2}



5) Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих.
Cвойство отрезков хорд, Внешнее пересечение
Теорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть

PA  \cdot PB = PD \cdot PC .


Теорема 2:
угол между секущими равен полуразности соответствующих им дуг, то есть
\angle APD = \dfrac{\smile CB - \smile AD}{2}

Комментарий репетитора по математике: Обратитте внимание на общую закономерность 4-го и 5-го свойства: хорды в произведениях не участвуют, а сами равенства (с частями и продолжениями хорд) при сохранении обозначений являются точной копией друг друга. Также можно подметить общую структуру равенств с дугами. Репетитору по математике стоит обратить на этих особенностях внимание ученика.

6) Свойства квадрата отрезка касательной
Свойство квадрата отрезка касательной

Теорема 1:
Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то есть

PC^2 = PA \cdot PB


Теорема 2:
угол между касательной и секущей равен полуразности соответствующих им дуг, то есть

\angle P = \dfrac{\smile BC- \smile AC}{2}

7) Угол между касательной и секущей
Угол между касательной и секущей

Теорема:угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен поливине дуги, которую отсекает сукущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).

\angle CAB = \dfrac{1}{2}\smile AC=\dfrac{1}{2}\angle AOC.




Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

{ 5 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Наталья ноября 10, 2010 в 21:22

Уважаемый коллега, ваш материал на сайте является для меня хорошим методическим подспорьем. Спасибо.

Полегаева О.Н. апреля 7, 2011 в 0:45

Александр Николаевич, спасибо за методики, я восхищена Вашим трудолюбием и профессионализмом.

Цесельская Г.М. апреля 20, 2012 в 15:42

Уважаемый Александр Николаевич! Полезность вашего материала безгранична! Огромнейшее спасибо за справочные материалы, их оформление. Я еще не со всеми ознакомилась. Спасибо за помощь репетиторам по математике, школьным преподавателям и ученикам! Вы Учитель с большой буквы!

Ильгизар декабря 8, 2013 в 19:51

Спасибо за хороший материал, готовимся к олимпиаде по математике.

Татьяна июня 2, 2014 в 20:58

Александр Николаевич, большое спасибо за материал! У меня завтра экзамен, и ваш труд поможет сдать мне его на хорошую оценку. Так, как я поняла все по ваши справочникам, мне не объяснит ни один учитель — репетитор. Спасибо вам большое!

Оставьте комментарий