Четырехугольники. Основные теоремы, формулы и свойства. Виртуальный справочник репетитра по математике

by Колпаков А.Н. on 11 октября 2010

Здесь ученики и репетиторы по математике и могут найти основные свойства и формулы площадей четырехугольников, изучаемых в школе по основной программе. Регулярно пользуюсь этими теоретическими сведениями на тематических и обзорных занятиях по геометрии (планиметрии), а также при подготовке к ЕГЭ по математкие. Все математические понятия и факты иллюстрированы с цветовыми выделениями главных особенностей изучаемого.

1) Площади четырехугольников

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма

1) S = a \cdot h_a = b \cdot h_b

произведение основания на высоту

2) S = a \cdot b \cdot Sin \angle A

пороизведение сторон на синус угла между ними

3) S = \dfrac{1}{2} AC \cdot BD \cdot Sin \angle COD

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь трапеции

Площадь трапеции

1) S = \dfrac{BC+AD}{2} \cdot BH

произведение полусуммы оснований на высоту

2) S = MN \cdot BH

произведение средней линии на высоту

3) S = \dfrac{1}{2} AC \cdot BD  \cdot Sin \angle COD

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь произвольного четырехугольника

площадь четырехугольника



S = \dfrac{1}{2} AC \cdot BD  \cdot Sin \angle COD
Площадь произвольного четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними



2) Свойства параллелограмма

Свойства параллелограммаВ параллелограмме:
1) противолежащие стороны и углы равны

2) диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

3) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, то есть

AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2

3) Cредняя линия в трапеции
Средняя линия в трапеции
Теорема о средней линии: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
То есть MN=\dfrac{BC+AD}{2} и

MN || BC || AD


4) Средняя линия в равнобедренной трапеции

средняя линий в равнобедренной трапеции

Средняя линия в равнобедренной трапеции равна отрезку нижнего основания, соединяющему вершину основания с снованием проведенной к ней высоты.

То есть MN = HD




5) Теорема с сдвиге диагонали в трапеции

Теоерма о сдвиге диагонали в трапеции

Теорема: Если в трапеции через вершину В, как показано на рисунке слева , провести отрезок параллельный одной из диагоналей, то окажутся верными следующие факты:



1) S_{ABCD} = S_{PBD}

2) трапеция ABCD  — равнобедренная \iff \vartriangle PBD равнобедренный

3) \angle PBD = \angle AOD

4) BC= PA

6) Четыре замечательные точки в трапеции

четыре замечательные точки в трапеции

Теорема: В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пеерсечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

То есть точки M, N, K и P лежат на одной прямой









Комментарий репетитора по математкие: Знаний этих свойств по четырехугольникам вполне достаточно для решения задачи С4 на ЕГЭ, то есть ничего сверх этих фактов по четырехугольникам абитуриент знать не обязан. Однако сильным ученикам для решения сложных задач части С или олимпиадных геометрических задач, а также для качественной подготовки к экзамену по математике в МГУ необходимо расширить список. Я бы не советовал репетиторам ограничиваться только задачами на применение этих свойств, так как составителями ЕГЭ по математике закладывается проверка сразу нескольких навыков работы с теорией. В течении всего времени подготовки к ЕГЭ репетитору по математкие необходимо отбирать тренировочные задачи на одновременное использование этих свойств с другими планиметрическими фактами внутри одной задачи, ибо на экзамене может встретиться многоходовая комбинация.





Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике.

{ 6 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Евгения октября 22, 2013 в 23:38

Александр, конечно, есть множество карманных справочников, НО! Было бы здорово сделать для репетиторов по математике скачиваемые материалы в каком-нибудь удобном формате, а также для проработки отдельно задачи к таким шпаргалкам опять же от простого к сложному.

Колпаков А.Н. октября 23, 2013 в 18:43

Я выкладывал на каких-то страницах с карточками-памятками готовые теоретические материалы — файлы в формате word, по крайней мере для планиметрии точно. Просмотрите соответствующие разделы сайта. На них ведут ссылки с главной страницы. Задумываю выделить репетиторам по математике для скачивания материалов отдельный раздел сайта. Все упирается в мою занятость реальными учениками. Иначе бы уже давно реализовал все замыслы.

Николай июля 21, 2014 в 18:32

Полезный материал

Михаил февраля 7, 2015 в 15:01

В этой хорошей подборке, на мой взгляд, не достает сведений по углам, например, два внутренних угла параллелограмма, связанных одной стороной в сумме дают 180 градусов.

Таисия мая 17, 2015 в 19:21

Принципиально ли в формуле площади через диагонали брать именно меньший угол между ними? Или можно любой?

Александр июня 1, 2015 в 4:13

Александр, если не затруднит, очень хотелось бы получить файлик world на почту или тыкнуть ссылкой на нее. За ранее очень благодарен за титанический труд.

Оставьте комментарий