Об алгебраическом уравнении 3-й степени и формулах его корней

by Колпаков А.Н. on 11 октября 2010

Сегодня редко можно встретить хорошего репетитора по математике, который бы знал еще и историю математики. Процентов 80 всех репетиторов, знакомя учеников с дискриминантами, векторами, производными, синусами, косинусами, графиками функции понятия не имеют о том, как, когда, кем и при каких обстоятельствах они впервые были введены и изучены. Исторические сведения о тех или иных математических открытиях и фактах помогут репетитору по математике лучше понимать свой предмет и придадут занятиям большую глубину, полноту и разнообразие.

О возникновении формул Кардано для решения кубического уравнения.

В Европе в XVI в. Было положено начало оригинального развития математики и перехода от старого к новому этапу ее жизни. Важнейшими математическими достижениями XVI в. были алгебраическое решение уравнений 3-й и 4-ой степени и создание алгебраической символики. Новый этап развития алгебры зародился в Италии. В начале XVI в. профессор математики Болонского университета Сципион дель-Ферро (1465—1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида x^3+px=q ,где p и q положительные числа.

Это решение профессор держал в строгом секрете, о нем узнали только два ученика ученого, в том числе некий Фиоре. Утаивание научных открытий в то время имело особое значение для жизни и карьеры их авторов. В Италии широко практиковались тогда математические поединки-диспуты: на многолюдных собраниях оба противника предлагали один другому задании для решения их на месте или в определенный срок. Побеждал тот, кто решал большое количество задач. Победитель награждался при этом не только славой и назначенным денежным призом, но и возможностью занять университетскую кафедру или другую должность. А человек, потерпевший на диспуте поражении , часто терял занимаемое им место.

В математических диспутах XVI в. Первое место занимала алгебра, названная «великим искусством», в отличие от арифметики, которую называли «малым искусством». Диспуты проходили в городе Болонья, который славился своим университетом. В этом высшем учебном заведении работали многие ученые с мировым именем, в том числе Лука Пачоли, Николай Коперник, а позже Галилео Галилей и др.

Для участников алгебраических диспутов было исключительно важно обладать неизвестной еще для других формулой решения того или иного типа уравнений, алгоритмом. Вот почему после внезапной смерти дель Ферро его ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, решил воспользоваться сообщенным ему секретом и вызвать на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Николо Тарталья (ок. 1499—1557).

Настоящая фамилия ученого была не Тарталья, а Фонтана. В 1512году его родной город Брешия был оккупирован французскими войсками. В то время озверевшие солдаты беспощадно грабили и даже убивали мирных жителей. Маленький Николо тоже был тяжело ранен: у него был рассечен язык. Матери удалось спасти жизнь сына, но говорить свободно Николо уже никогда не мог, речь его была крайне невнятной. Он получил прозвище Тартатья (заика). Несмотря на тяжелые материальные условия, одаренный мальчик упорно овладевал математикой. Нередко, когда не было денег на покупку бумаги, он писал свои математические вычисления на заборах и камнях.

Ко времени вызова на поединок со стороны Фиоре (1535) Тарталья уже занимал кафедру математики в Вероне и славился как первоклассный ученый. Одной из самых актуальных и жгучих проблем того времени было алгебраическое решение «решение в радикалах» кубических уравнений, т.е. нахождение общей формулы, выражающей корни любого уравнения третьей степени в зависимости от коэффициентов при помощи конечного числа алгебраических операций — сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечении корней. Такая формула была давно известна для уравнения второй степени, а поэтому было естественно ее искать и для третьей, тем более, что ученые мира до этого времени такой формулы найти не могли.

Получив вызов на диспут, Тарталья понял, что Фиоре обладает формулой для решения кубического уравнения и при подготовке к диспуту все свои внимание сосредоточил на на поисках своей формулы. Он работал днем и ночью над этой проблемой и его труды не пропали даром. Вот как позже он писал об этом: «Я приложил все свое рвение, усердие и математическое умение, чтобы найти этот алгоритм., и , благодаря благосклонной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока».

Диспут состоялся 20 февраля 1535г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач (почти в 2 раза больше задач, чем на ЕГЭ по математике, и 2 раза быстрее), предложенных ему противникам. Фиоре, который не смог решить ни одной из 30 предложенных ему задач, выбранных Тартальей из различных областей математики, признал себя побежденным. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, однако он продолжал держать в секрете найденную им формулу, та как намеревался опубликовать ее в своем труде по алгебре.

Другой видный итальянский ученый, Джероламо Кардано (1501—1576), который долго искал, но никак не мог найти алгоритма решения кубического уравнения, обратился в 1539г. К Тарталье с просьбой сообщить ему соответствующую формулу. После того, как Кардано дал «священную клятву» в том, что он никому не раскроет тайну, Таталья согласился открыть ему секрет. Однако в своем общении в стихах Тарталья сделал это лишь частично и сознательно замаскировал полное решение кубического уравнения.

Между тем, в 1542 году Кардано познакомился в Болонье с рукописями покойного профессора дель-Ферро и получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал свой знаменитый труд «О великом искусстве, ил об алгебраических вещах в одной книге» В нем он впервые опубликовал само решение уравнения x^3 + px + q = 0 и показал формулы корней. В современной записи они выглядят так:
формула Кардано

В книге Кардано содержится также алгебраическое решение уравнений четвертой степени — важнейшее открытие, сделанное одним из его учеников — Луиджи Феррари (1522—1565).

После выхода в свет книги Кардано последний был обвинен Тартальей в нарушении данного им обещания и клятвы. «У меня, — писал Тарталья, — вероломно похитили лучшее украшение моего труда по алгебре» Последовала и острая продолжительная полемика между обоими математиками и их сторонниками.
Таковы обстоятельства, при которых были открыты общие формулы для решения уравнений 3-й степени. Формулы поныне называются «формулами Кардано», несмотря на то, что следовало бы их называть, по крайней мере, так: «Формулы Ферро-Тарталья —Кардано».

Комментарий репетитора по математике: Формулы решения кубического уравнения позволяют найти его корни на множестве действительных чисел при условии, что (q/2)^2+(p/2)^3 \geqslant 0 . Однако при отрицательном подкоренном выражении корни могут тоже существовать (например, при p= −2 и q=1 корень, очевидно, x=1), поэтому условие (q/2)^2+(p/2)^3 \geqslant 0 не является, как в случае с дискриминантом, критерием существование решений. Формулы приобретают безусловный и общий смысл только на множестве комплексных чисел. Некоторые математики и репетиторы по высшей математике, работающие с сильными учениками, считают формулы Кардано неким недоразумением или красивым обманом, однако сам факт их получения заслуживает как минимум внимания и восхищения.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Сергей Иванов апреля 24, 2012 в 14:12

Большое Вам спасибо, очень познавательный материал!!! А можно как-то подписаться на Ваши материалы по математике? Заранее спасибо!

Колпаков А.Н. апреля 24, 2012 в 16:09

Думаю создать к лету на сайте специальный раздел с рассылками публикуемых статей (по методике и математике). Скорее всего это будут подборки интересных задач с моими комментариями по их решению или использованию. В том числе будут справочные страницы. Начинающий репетитор по математике получит возможность использовать готовые методидические материалы, проверенные на учениках разного уровня и сортированные по темам. Если хотите – можете уже сейчас дать добро на занесение вашего e-mail адреса в этот список.

Оставьте комментарий