Олимпиада в МГУ, 11 класс, 2011 г. Задания для работы репетитора по математике с одаренными детьми

by Колпаков А.Н. on 29 ноября 2010

Предлагаю вашему вниманию реальные варианты олимапиады по математике 2011 года для 11 класса, проводимой Московским Государственным Университетом в заочной форме. Далеко не каждый репетитор математики способен осилить олимпиадные задания МГУ. Если вам нужна практика решения подобных задач и вы рассчитываете на помощь преподавателя, помните, что главным ключом к успеху на таких испытаниях явяется высокий уровень интеллектуального и математического развития вашего ребенка, а не знание конкретных приемов решения типых задач (даже очень сложных). МГУ всегда отличало особое содержание конкурсных олимпиадных вариантов, готовить к которым репетитору всегда было очень сложно. Такие задачи невозможно систематизировать, их решения чаще всего можно только показывать, а доступны они тем абитуриентам, которые помимо математических знаний способны к определенному режиму работы памяти и мышления, при котором математическая информация запоминается и обрабытывается большими блоками и с высокой скорость. Какой-то хитрой методики подготовки к олимпиадам МГУ не существует. Елинственная рекомендация для репетиторов математике и учеников — решать эти задачи как можно больше.

«Покори Вробьевы горы». Задания заочного тура олимпиады МГУ по математике, 11 класс.

Вариант олимпиады по математике в МГУ, №1

Задача1. Два куска сыра имеют форму прямоугольного параллелепипеда каждый. Длина первого куска на 50% больше длины второго куска, а ширина и высота первого куска соответственно на 20% и 30% меньше ширины и высоты второго. У какого куска сыра объем больше и насколько.

Задача 2. Решить неравенство \sqrt{x^2-1} \leqslant \sqrt{5x^2-1-4x-x^2}

Задача 3. Найдите все двузначные числа вида \overline{XY} , для которых число, имеющее шестизначную десятичную запись \overline{64X72Y} , кратно 72 .

Задача 4. Пройдя \dfrac{2}{5} длины узкого моста, пешеход заметил, что сзади к мосту приближается машина. Тогда он пошел назад и встретился с машиной у начала моста. Если бы он продолжал идти вперед, то машина догнала бы его у конца моста. Найти отношение скорости машины к скорости пешехода.

Задача 5. Найдите все решения уравнения \mid Sin2x - Cosx \mid =\mid \mid Sin2x\mid - \mid Cosx\mid\mid

Задача 6. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, делит биссектрису острого угла в отношении 5:2, считая от вершины. Найдите величину этого угла.

Задача 7. Сколько решений имеет уравнение
\dfrac{1}{(x-1)^2}+\dfrac{1}{(x-2)^2} =\dfrac{2}{x^2} ?

Задача 8. Даны три точки, расстояния между которыми равны 4, 6 и 7. Сколько существует попарно не равных друг другу треугольников, для которых каждая из этих точек — либо вершина, либо середина стороны?

Задача 9. В какую степень надо возвести корень x_0 уравнения x^{11}+x^7+x^3=1 , чтобы получить число x_0^4+x_0^3-1 ?

Задача 10. Сфера касается всех ребер пирамиды SABC, причем боковых ребер SA, SB и SC  — в точках A_1, B_1, C_1 . Найдите объем пирамиды SA_1B_1C_1 , если AB=BC=SB=5 и AC=4.

Вариант олимпиады по математике в МГУ, №2

Задача1. Какое время между 14:10 и 15:10 показывают часы в тот момент, когда угол между минутной стрелкой и часовой равен 90^\circ?

Задача 2. Решите неравенство Sinx \cdot Sin1755x \cdot Sin2011x \geqslant 1

Задача 3. Петя последовательно выписывает целые числа, начиная с 21, так, что каждое следующее число меньше предыдущего на 4, а Вася, глядя на очередное число, подсчитывает сумму всех выписанных к этому моменту чисел. Какая из найденных Васей сумм окажется ближайшей к 55?

Задача 4. Натуральные числа m и n таковы, что дробь \dfrac{m}{n} несократима, а дробь \dfrac{4m+3n}{5m+2n} сократима. На какие натуральные числа она сокращается?

Задача 5. Решите уравнение \sqrt[3]{15x+1-x^2} + \sqrt[3]{x^3-15x+27} = 4

Задача 6. В прямоугольной трапеции наибольшая диагональ, равная 11см, делит ее острый угол в отношении 2:1, а расстояние от вершины тупого угла до этой диагонали равно 4. Какие значения может принимать площадь этой трапеции?

Задача 7. Найдите наибольшее значение выражения
(x_1-x_2)^2+((x_2-x_3)^2+...+ (x_{2010}-x_{2011})^2+(x_{2011}-x_1)^2
при x_1,...x_{2011} \in [0;1].

Задача 8. Решите систему уравнений
\begin{cases} 5x^2 + 3y^2 +3xy+2xz-yz-10y+5=0 \\ 49x^2+65y^2+49z^2-14xy-98xz+14yz-182x-102y+182z+233=0\end{cases}

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике Москва, Строгино.

Метки: Варианты олимпиад по математике

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий