Формулы сокращенного умножения и другие полезные алгебраические тождества

by Колпаков А.Н. on 3 января 2011

Формулы сокращенного уммножения:

1) a^2-b^2=(a-b)(a+b) Разность квадратов

2) a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 Квадрат суммы

3) a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 Квадрат разности

4) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) Сумма кубов

5) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) Разность кубов

Комментарий репетитора по математике:
Перед вами базовый школьный комплект формул, изучаемый в 7 классе по всем программам. Наибольшая доля задач в учебниках приходится на применение первых трех формул.
Трехчлены a^2+ab+b^2 и a^2-ab+b^2 называются неполными квадратами суммы и разности соответственно

Из методики репетитора по заучиванию названий: Примите к сведению, что названия всех формул даются по самой короткой их части. Например, в формуле разность квадратов это левая часть, а в формуле квадрат суммы — правая. В начале названия формулы указывается последнее действие в этой короткой части. Например, в формуле разность квадратов -это разность, а в формуле квадрат суммы — это квадрат.

Дополнительные формулы, изучаемые в математических классах:

6)(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 Куб суммы

7) (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 Куб разности

8) (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc Квадрат суммы трех чисел

Комментарий репетитора по математике: Если в последней формуле поставить знак минус, например перед b или c (или сразу оба знака), то в правой части знак минус появится перед тем удвоенным произведением, которое эту букву содержит (или два минуса дадут снова плюс).

Другие полезные алгебраические тождества:

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab выражение суммы квадратов двух чисел через их сумму

a^2+b^2=(a-b)^2+2ab выражение суммы квадратов двух чисел через их разность

Комментарий репетитора по математике: Эти тождества часто используются составителями конкурсных задач по математике (в том числе и на ЕГЭ) для того, чтобы замаскировать в уравнениях и неравенствах замену переменной. Если в вашем задании присутствует сумма квадратов двух выражений попробуйте перейти к сумме или к разности.

Бином Ньютона
(a+b)^n=C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2+...+C_n^ka^{n-k}b^k+...+C_n^nb^n

Разность n-ных степеней
a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a^{n-k}b^{k-1}+...+ab^{n-2}+b^{n-1})

Сумма нечетных степеней
a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-...
...+(-1)^ka^{2n-k}b^{k}+...+b^{2n})

Колпаков Александр Николаевич, профессиональный репетитор по математике Москва, Строгино.

Метки: Заучивание формул, Справочник репетитора

{ 5 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Тамара 3 февраля, 2011 в 19:53

Спасибо большое за ценные советы, богатые методический и учебный материал! Успехов и удачи!

Саша 11 февраля, 2013 в 15:28

Спасибо, очень помогли

маша 9 мая, 2013 в 20:03

спасибо очень помогло

Игорь 24 октября, 2013 в 18:31

Большое спасибо!!!

Марина 4 сентября, 2014 в 16:13

Спасибо!

Оставьте комментарий