Методика работы репетитора по математике с теоремой Менелая

by Колпаков А.Н. on 4 января 2011

Для многих математиков — составителей конкурсных планиметрических задач (особенно для составителей олимпиад по математике для МГУ) теорема Менелая занимает особое место. Она всегда стояла особняком от программ школьных учебников и репетиторы по математике весьма неохотно брались за нее преподавание. Учитывая этот факт, а также недостаточную самостоятельность в изучении школьниками дополнительных глав элементарной геометрии, преподаватели ВУЗов на экзаменах и олимпиадах по математике легко могли поставить недостаточно подготовленного абитуриента в тупик простым включением в экзамен комбинированной задачи на площадь, подобие и отношения. Если составители вариантов ЕГЭ вернуться к традициям проведения вступительных испытаний в сильные математические ВУзы, то репетитору по математике придется больше времени уделять дополнительным теоремам и свойствам. Одной из таких теорем является теорема Менелая.

Как сейчас обстоят дела с теоремой в школьных программах? Никак. В отличие от современного издания, в варианте учебника Геометрии авторов Атанасян Л.С., Бузузов В.Ф. и др. теорема Менелая долгое время располагалась на последних страницах в 4-ом приложении «некоторые замечательные теоремы планиметрии». Туда же входила главная соседка этой теоремы — теорема Чевы. Однако изложение материала велось достаточно сложно и с присущей Атанасяну математической точностью и полнотой. Желание включить в параграф необходимое и достаточное условие расположение точек на одной прямой, используя при этом строгое определение отношения, в котором точка делит отрезок, приводило к появлению в теореме Менелая направленных отношений и, как следствие, к неудобной для понимания доказательства теоремы минус единицы. Приведу пример этой формулировки
теорема: Пусть в треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AC (или на их продолжении) взяты точки M, N и K, не совпадающие с вершинами треугольника. Тогда точки М, N и K лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда верно равенство:

\dfrac{ \widehat{A M}}{ \widehat{M B}} \cdot \dfrac{\widehat{BN}}{ \widehat{N C}} \cdot \dfrac{ \widehat{CK}}{ \widehat{K A}} = -1

Репетитор по математике в работе с теоремой Менелая

Наглядность рисунка при доказательстве была «замята» строгими следствиями из задачи об пропорциональных отрезках при пересечении угла параллельными прямыми. В связи с этим репетитор по математике испытывал необычайные трудности в подаче темы даже сильному ученику, и редкий абитуриент понимал объяснения своего репетитора. Комичность ситуации с учебником заключалась в том, что обратное утверждение — признак расположения точек на одной прямой (где как раз и нужно учитывать знак отношения), не доказывалось вообще.

Отстраняясь от крайне неудачной в методическом плане форме подачи темы (все-таки Атанасян больше математик, чем методист), я предлагаю свой метод преподнесения теоремы Менелая. Так как же репетитору по математике действовать?

Все дальнейшие советы относятся к ситуации, когда репетитор занят способным учеником и временные условия для занятий достаточно комфортны

1-й шаг репетитора по математике — доказательство или ссылка на теорему о пропорциональных отрезках. Теорема Менелая фактически следует из нее.

Пусть угол A пересечен параллельными прямыми так, как показано на рисунке
Теорема о пропорциональных отрезках. Из методик репетитора по математике.
Тогда отношение любых двух отрезков, зажатых параллельными прямыми на одной его стороне угла, равно отношению соответствующих им отрезков на другой стороне угла, например \dfrac {DC}{CB} =  \dfrac {D_1C_1}{C_1B_1} или \dfrac {DB}{CA} =  \dfrac {D_1B_1}{C_1A}.

Я не буду приводить здесь это доказательство, чтобы не отклоняться от главной темы. Скажу лишь об идее, которая опирается на опреление подобных треугольников и на сравнение всех отношений отрезков внутри одной пары параллельных прямых с отношением \dfrac {BA}{B_1A} . Думаю, хорошему репетитору по математике на это потребуется минут 5-10 в зависимости от ученика.

2-ой шаг репетитора по математике — формулировка теоремы Менелая. Я бы советовал репетиторам разбирать с учениками только первую ее часть, то есть прямую теорему: если точки лежат на одной прямой, то выполняется известное равенство. Тогда можно уйти от неудобной минус единицы в записях и дать формулировку в максимально удобной для понимания форме, итак:

Теорема. Если треугольник рассечен прямой, образующей точки M, N на его сторонах AB и BC и точку K на продолжении третьей стороны AC, то будет верно равенство: \dfrac{ AM}{MB} \cdot \dfrac{BN}{NC} \cdot \dfrac{CK}{KA} = 1

Репетитор по математике в работе с теоремой Менелая

3-ий шаг репетитора по математике — выявление закономерностей в составлении левой части равенства. Обратите внимание на порядок, в котором выполняется деление отрезков. Если в начале записи теоремы мы «встанем» в вершину A и «пойдем по периметру треугольника» с «заходом» в точки M, N и K на разделяющей прямой (назовем их новыми точками), то в каждой дроби будем делить отрезок, соединяющий текущую вершину и новую точку, на отрезок, соединяющий новую точку и следующую вершину (в порядке их обхода по периметру). Или коротко: в числитель заносится отрезок «от вершины до новой точки», а в знаменателе «от новой точки до следующей вершины». И так по кругу. Именно эту фразу репетитор по математике должен предложить ученику в качестве инструкции для лучшего запоминания и быстрой записи дробей. Для того чтобы ученик не запутался в порядке репетитору желательно сопровождать чертежи к задачам стрелками, как показано ниже на рисунке
Принцип составления отношений в теореме Менелая. Методики репетитора по математике.

5-й шаг репетитора по математике — обучение записи теоремы Менелая. Репетитору желательно потратить время с учеником на простое выписывание всех дробей левой части в разных ситуация: при разных обозначениях и расположениях треугольника, комплектуя их различными рассекающими прямыми. Очень полезно поставить ученика в условия наличия на чертеже не одного треугольника, а нескольких. Например, репетитор по математике может попросить на рисунке
Методики репетитора по математике. Развитие навыков записи теоремы Менелая.записать теорему Менелая для треугольника ABP и прямой DC, для треугольника ADC и прямой BP, для треугольника BOC и прямой DE и т.д.

6-ой шаг репетитора по математике — доказательство теоремы Менелая. Здесь другие репетиторы могли бы со мной поспорить по поводу уместности отложенного доказательства. Конечно, преподавателю проще доказать теорему сразу, а уже после заниматься практикой. Но то, что просто для репетитора по математике не всегда просто для ученика. Я являюсь сторонником практической репетиторской помощи, помощи в обучении решать задачи. Не всем дается математика на уровне доказательств, не всем ученикам доказательства будут полезны и тем более не все станут после занятий с репетитором математиками. Гораздо важнее запомнить формулировку теоремы (а она не из простых). Тогда ученику будет проще отслеживать мелкие детали доказательства, если репетитор на него решится.

Итак, для доказательства теоремы Менелая мы проведем произвольную прямую m, не параллельную той, которая рассекает треугольник, и через все его вершины проведем еще 3 прямые, параллельные рассекающей. Пусть B_1, K_1, A_1, C_1  — точки их пересечения с прямой m .
Методики репетитора по математике. Доказательство теоремы Менелая.

\dfrac {AM}{MB} =  \dfrac {A_1K_1}{K_1B_1},

\dfrac {BN}{NC} =  \dfrac {B_1K_1}{K_1C_1}

\dfrac {CK}{KA} =  \dfrac {C_1K_1}{K_1A_1}

--------------------------------------------------------------------------
Перемножая левые части равенств и приравнивая их поизведение к произведению правых частей, после очевидного сокращения получим желанную единицу
\dfrac {AM}{MB} \cdot \dfrac {BN}{NC}\cdot \dfrac {CK}{KA}=\dfrac {A_1K_1}{K_1B_1}\cdot \dfrac {B_1K_1}{K_1C_1}\cdot \dfrac {C_1K_1}{K_1A_1} = 1

Удивительно, почему школьные учебники обходят стороной теорему Менелая? Ее доказательство не представляет собой что-то через чур сложное. Тем более есть задачи, в которых без нее просто не обойтись.

7-ой шаг репетитора по математике — обучение видеть применимость теоремы Менелая.
Практические ситуации случаются всякие, и не в каждом случае удается распознать участие теоремы Менелая. Главным признаком ее применимости является наличие в условии двух известных отношений (тогда третье находится). Простое наблюдение, но почему-то школьники о нем забывают. Привычка абитуриентов при имеющейся информации об отношении двух отрезков сразу же хвататься на переменную в данной теме не спасает. Не стоит сразу же выражать иксами длины отрезков, которые расположенных на одной прямой, так как в геометрии есть целый букет свойств и теорем, с участием именно самих отношений таких отрезков (то есть дробей). Одной из них является теорема Менелая.

Нужно помнить, что все отрезки, из которых составлены дроби, лежат на сторонах треугольника, а отрезки на «разделяющей прямой» ни в одно отношение не входят. Простое, но важное наблюдение. Поэтому, если в условии, например, сказано, что \dfrac {AM}{MB} = 2:3 , то прямую AM нельзя рассматривать как разделяющую. Помимо этого важно не забывать о том, что «разделяющая прямая» не проходит ни через одну из вершин треугольника. Данная особенность помогает после выделения треугольника достаточно быстро найти «разделяющую» прямую.

Эти «мелочи» помогают репетитору по математике выработать с учеником план обнаружения теоремы Менелая. Если описывать его коротко, то на сложном рисунке необходимо по двум имеющимся отношениям отрезков выделить (желательно цветом) прямые на которых эти отрезки лежат (линии сторон будущего треугольника), а после заниматься подбором разделяющей прямой. Надо сказать, что искусство распознавать теоремы на рисунке с множеством прямых, точек и фигур — важнейшее из искусств геометра. Репетитор по математике, умеющий передать его ученику — настоящая находка для родителей.

Подборка задач на теорему Менелая будет опубликована позже.

Колпаков Александр Николаевич, профессиональный репетитор по математике. Москва, Строгино.

{ 3 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Нусупбек апреля 17, 2011 в 4:29

Спасибо Александр Николаевич!
ученик 8-го класса физико-математического лицея г.Алмата. С удовольствием изучил ваши методы работы с теоремой Менелая. Мой репетитор по математике, к сожалению, уделил на теорему Менелая только полурока не раскрыл мне того, что я прочитал у вас. Спасибо огромное за очень полезную статью!!!

Людмила сентября 29, 2013 в 23:06

Я доказывала на уроке эту теорему так же, как и вы. Ученики легко ее потом доказывали сами. Я тоже обратную теорему только формулировала, больше внимания уделяя практике. Рада, что есть единомышленники.

Вадим марта 3, 2016 в 15:50

Спасибо большое за материал, не встречал такое доказательство — мне оно очень понравилось, более прозрачное и наглядное.

Оставьте комментарий