Справочник репетитора по математике. Касательные, экстремумы и исследования функций

by Колпаков А.Н. on 5 января 2011

Cправочник репетитора по математике предназначен для учащихся 5-11 классов и для преподавателей математики. Последние найдут в нем несколько оригинальных подходов к подаче и оформлению теоретических конспектов, упрощающих работу школьников с математическими понятиями и законами.

Касательная к графику функции.

Школьное определение касaтельной: прямая y=f (x) называется касательной к графику функции f (x) в точке x_0 если она проходит через точку A(x_0;f(x_0)) и имеет угловой коэффициент f.

Строгое определение касательной (из курса математического анализа) : прямая y=kx+b называется касательной к графику функции f(x) в точке x_0 , если при \vartriangle x=x-x_0\rightarrow 0 разность f(x)-f(x_0) есть бесконечно малая величина, более высокого порядка малости чем \vartriangle x

Иллюстрация касательной m к графику функции y=f(x) в точке x_0:


Справочник репетитора по математике. Касательная к графику функции

Геометрический смысл производной: Значение производной функции y=f(x) в точке x_0 равнo угловому коэффициенту касательной, проведенной к y=f(x) в точке x_0, то есть tg\alpha=k=f, где k — угловой коэффициент касательной.

Комментарий репетитора по математике: угол наклона касательной определяется как направленный положительный угол, то есть тот самый угол, который вы привыкли откладывать на тригонометрическом круге от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Поэтому, если если касательная отклонена влево от вертикального положения, ваш угол наклона окажется тупым, то есть принадлежащим промежутку [0;\pi] . Так как тангенс любого такого угла (угла второй четверти) отрицательный, то отрицательной окажется и производная.

Общая форма уравнения касательной: y= f
Окончательная форма уравнения касательной :
y=kx+b

Полезные факты для решения задач на касательную:

1) две наклонный прямые параллельны, тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

2) две наклонный прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1.

Как найти угол наклона касательной по ее угловому коэффициенту:

Если k=f, то \alpha = arctg(k)
Если k=f, то \alpha = \pi + arctg(k)

Достаточный признак возрастания функции: если все значения производной некоторой функции положительны внутри промежутка, то функция внутри него строго возрастает.

Замечание репетитора по математике: если концы промежутка являются точками непрерывности функции (один или оба), то их можно присоденить к указанному промежутку возрастания.

Достаточный признак убывания функции: если все значения производной некоторой функции отрицательны внутри промежутка, то функция внутри него строго убывает.

Замечание репетитора по математике: если функция непрерывна на концах промежутка (на одном или на обоих), то эти концы можно присоединить к указанному промежутку убывания.

Блиц вопросы к репетитору:

Что такое критическая точка? Внутренняя точка области определения функции называется критической, если производная в этой точке либо не сущуствует, либо она равна нулю.

Что такое стационарная точка: Если у критической точки производная равна нулю — она называется стационарной точной.

Экстремумы

Минимум функции.
Определение: Точка x_0 называется точкой минимума функции f(x), если в некотором промежутке I оси ОХ, содержащем x_0 для всех точек x \in I выполняется неравенство f(x) \geqslant f(x_0) . В этом случае число f(x_0) называется минимумом функции в точке x_0 (или локальным минимумом).

Фрагмент графика функции, имеющей точку минимума:


Справочник репетитора по математике. Минимум функции.

Комментарий репетитора по математики к рисунку: знаки — и + на оси OХ показывают на отрицательные/положитлеьные значения производной в левой/правой окрестности точки x_0. Стрелки указывают на возрастание и убывание функции в этих крестностях. Я советую репетиторам математики включать в теоретические памятки для учеником именно такую (интегрированную) иллюстрацию минимума.

Максимум функции.
Определение:Точка x_0 называется точкой максимума функции f(x), если в некотором промежутке I оси ОХ, содержащем x_0 для всех точек x \in I выполняется неравенство f(x) \leqslant f(x_0) . В этом случае число f(x_0) называется максимумом функции в точке x_0 (или локальным максимумом).

Фрагмент графика функции, имеющей точку максимума:


Cправочник репетитора по математике. Максимум функции.

Комментарий репетитора по математике: все обозначения и опорные знаки для подачи материала преподавателем аналогичны случаю с минимумом.

Экстремум - общее название минимума и максимума. Точка экстремума - общее название для точки минимума и точки максимума. На всех рисунках f(x_0) — экстремум, а x_0  — точка экстремума.

Необходимое условие существования экстремума: если x_0  — точка экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, то есть f . В этом случае касательная, проведенная к графику функции будет параллельна оси ОХ.

Достаточное условие существования экстремума: если функция y=f (x) непрерывна в точке x_0 и при переходе через x_0 производная меняет знак , то x_0 — точка экстремума.

Признак минимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке x_0 и производная меняет знак с минуса на плюс, то x_0  — точка минимума.

Справочник репетитора по математике. Признак минимума функции.

Признак максимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке x_0 и производная меняет знак с плюса на минус , то x_0  — точка максимума.

Справочник репетитора по математике. Признак максимума функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=f (x) на отрезке [a;b], на которм она непрерывна

1) Найдите производную f от данной функции
2) Найдите стационарные точки, решив уравнение f
2*) В редких случаях функция может иметь точки, в которых производной не существует. Их тоже нужно выявить.
3) Выберите из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок
4) Найдите значения данной функции в выбранных точках
5) Выберите среди них наименьшее и наибольшее

План исследования функции с применением производной. Построение графика.
1) Найдите производную y=f
2) Разложите ее на множители (если это возможно) или приведите все ее дроби к общему знаменателю, а затем разложите числитель. Тем самым вы ее готовите к дальнейшему исследованию методом интервалов
2) Определите у функции критические и стационарные точки, приравнивая числитель и знаменатель ее производной к нулю
2*) Точки, в которых производной не существует (обычно это нули знаменателя) отесите в группу тех, в которых функция будет иметь вертикальные асимптоты
3) Отметьте все найденные точки на оси Х и раставьте методом интервалов на образовавшихся промежутках знаки производной
4) Определите промежутки монотонности (промежутки возрастания и убывания) и над каждым из них поставьте соответствующую стрелку в соответствии с видом этой монотонности
5) Определите через признак минимума и максимума (или по характеру расположения стрелок) соответствующие точки экстремумов и найдите значения функции в этих точках
6) Нанесите их на координатной плоскости и также по характеру стрелок проведите через эти точки график.

Замечание репетитора по математике: аккуратнее выполняйте рисунок вблизи асимптот. График функции не должен их пересекать и обрываться рядом с ними. Плавно приближайте его к асимтоте пока на это хватает выделенного пространства системы координат.

Удачи в изучении математики!
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике, Москва, Строгино.

Виртуальный математический справочник профессионального репетитора — преподавателя.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий