Репетитор по математике в работе с темой «Рациональные уравнения» в 8 классе. Методики индивидуального преподавания

by Колпаков А.Н. on 12 января 2011

Сложно писать о работе преподавателя с той или иной темой школьного курса математики в отрыве от конкретной практической ситуации, так как приемы практической репетиторской работы зависят от того, какой именно ученик приходит к репетитору, с каким багажом знаний, способностей и в какое время. Однако любой опытный репетитор по математике при подготовке урока держит в голове некие средние показатели успеваемости и в большинстве случаев ориентируется на них. Также поступают и авторы школьных учебников математики, только для удобства изложения и объяснения материала эти показатели в них, на мой взгляд, искусственно завышаются. В реальности средний московский ученик не отвечает желаемому уровню математического и общего интеллектуального развития, что сильно усложняет репетитору по математике подготовку к урокам. Репетитору приходится бороться с весьма существенной разницей средствами и методиками, не совпадающими с описанными в учебных пособиях. Изобретельность и мастерство репетитора по математике зависит от знаний того, как протекают умственные процессы в голове ребенка и того, какой арсенал методик работы со слабым учеником у него имеется. Приходится подбирать приемы подачи тем для реально низких стандартов, которые имеются сейчас в школах. На этих низких показателях и остановимся.

Рассмотрим особенности работы репетитора по математике с темой «рациональные уравнения». Более точное название — дробные рациональные уравнения. Для непосвященных читателей напомню, что дробные рациональные уравнения — разновиднность алгебраических уравнений в которых переменная присутствует в знаменателе хотя бы у одной из дробей.

Надо сказать, что данная тема в определенных учебных условиях работы опытного репетитора математики не представляет особой сложности как с практической, так и с теоретической стороны, потому что на 80% ее содержание включает в себя повторение пройденных операций с использованием приобретенных ранее навыков разложения на множители, приведения дробей к общему знаменателю, раскрытия скобок и решения квадратных (или линейных) уравнений. И все бы было как в сказке, если бы не суровая реальность наших дней. К репетитору по математике может придти ученик, которому даже при наличие у него необходимой базы знаний и навыков нужно разжевывать очевидные вещи. Большинство учебников оставляют без внимания эти элементарные вопросы и вся работа по их пониманию у ребенка ложится на репетитора.

У большинства известных авторов программ объяснения данной темы ведется крайне неудачно. Например, если мы откроем класический учебник алгебры Макарычева, то увидим что основа пояснительных текстов параграфа — обоснование равносильности главного преобразования — умножения обеих частей на общий знаменатель. Все было четко и грамотно, но практика работы репетитором по математике показывает, что дети с трудом вникают в такие вопросы. Строгие математические переходы, причинно — следственные и логические выводы, понятные взрослому математику, часто бесполезно объяснять школьнику с нематематическим складом ума. Средний, и тем более слабый школьник, еще не отвечает, как правило, тому уровню абстрактного мышления, когда возможно в отсутствии математического объекта (в данном случае корня уравнения) выполнять операции с ним и строить выводы на основе их резуольтатов. Ему нужны от преподавателя простые и точные коментарии — подсказки на понятном языке с минимальным количеством математических терминов.

Хороший репетитор по математике, по моему мнению, должен уходить от строгой логики взрослой математики и подавать ребенку материал так, чтобы он мог как можно быстрее понять суть и перейти к решению задач. Решая их в достаточном количестве, можно заметно усилить чувство понимания. А для этого в начале нужен некий старт с пояснение на простых примерах (объектах). Это общие стратегия. Однако, вернемся к нашей теме.

Дальнейшее описание методики работы репетитора математики по темой «дробные уравнения» разбито на шаги, на каждом из которых я дам репетиторам несколько полезных советов.

Первый шаг репетитора по математкие — отказ от методики домножения обеих частей на наименьший общий знаменатель. Была бы моя воля — я запретил бы всем преподавателям математики показывать такой прием в 8 класе. Почему? Любой репетитор с опытом подготовки в ВУЗы и к ЕГЭ по математике знает, что типичной ошибкой 11 классников в решении дробных неравенств является умножению обеих его частей на буквенное выражение с непостоянным знаком. Причем без всякого разбора случаев. Куда ведут корни этой ошибки? Думаю, что к темы дробные уравнения. Дети привыкают удалять дроби домножением на многочлен и автоматически переносят тот же метод в неравенства.

В кругу преподавателей и репетиторов математики весьма распространенной является ошибка обучения приемам и алгоритмом, которые известны самому репетитору. Что знаю сам — тому и учу. Репетитору, привыкшему к домножению на общий знаменатель стоит пересмотреть свой подход в пользу переноса дробей в левую часть и приведения их к общему знаменателю. Такая форма полезнее еще и по причине одновременного повторения пройденного — сложение дробей, причем для 8 классников это вдвойне актуально, так как повторяется самый сложный материал года.

Памятка для репетиторов: Помните о главной особенности темы. Школьник впервые знакомится с уравнениями, в решении которых ему требуется заниматься отбором полученных корней. Нигде раньше в математике он с этим не сталкивался, и поэтому очень важно разобраться этой особенности его внимание.

Второй шаг репетитора по математике: выбор простого примера для демонстрации.
Я бы советовал репетитору начать с уравнения, в котором левая часть содержит одну единственную дробь, а в правой части стоит нуль. Например:

\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4} =0

Таким образом вы поможете ребенку сконцентрировать все внимание на самом важном. Некоторые репетиторы начинают с разветвленных уравнений с несколькими дробями. Это неверный подход. Если вы хотите что-то объяснить, ребенку, то выбросите все, что к этому объяснению не относится. Все лишнее в сторону. Иначе будет труднее понять, что именно объясняется и что следует запомнить.

Третий шаг репетитора по математике:  — напоминание ученику того, что от него требуется при решении уравнения и выделение главной части изучаемого алгоритма. Здесь уместно вспомнить что такое корень уравнения и как его проверить. Когда ребенок проверяет наугад взятое число, на предмет отправки его в ответ (можно дать такое задание), он подставляет его вместо икса и проверяет приведут ли указанные действия к желаемому нулю. В этот момент репетитору стоит указать на то, что на нас с неба ответ 0 не свалится. Он получится в последнем действии. Далее репетитор по математике задает ученику несколько наводящих вопросов:

Вопрос репетитора: какое в нашей дроби последнее действие?
Ответ ученика: деление.

Вопрос репетитора: А когда в делении может получится нуль? Приведи мне пример такого числителя и знаменателя
Ответ ученика: в числителе должен стоят нуль.

Репетитор по математике: Значит осталось найти когда это произойдет, то етсь что подставить вместо икса, чтобы в числителе получитлся нуль. Для этого надо решить уравнение x^2-5x+6

После того, как ученик его решит, репетитору можно выкатывать из кустов рояль в виде грамотно выбранного знаменателя и просить подставить в него для проверки корень х=2. Легко проверяется, что х=2 не подходит, несмотря на то, что в числителе желаемый нуль получается.

В хоте обсуждения репетитор по математике подводит ребенка к главному правилу : для решения дробного уравнения с буквенным знаменателем. нужно найти все числа, которые при вставке в числитель дают в результате его действий нуль (то есть решить образованное от числителя уравнение) и выбросить из ответа те из них, которые дают нуль в знаменателе. Для того, чтобы было видно, какие числа надо выбрасывать их лучше всего сразу найти. Мы назовем их запрещенными будем следить за тем, чтобы ни одно из них не попало в ответ.

Комментарий для репетиторов: Обратите внимание на точность подбора слова лова запрещенные. Ни в одном учебнике к нулям знаменателя так не обращаются. Жаль, потому что именно так их роль лучше запоминается.

Как найти запрещенные числа? Это числа, которые обнуляют знаменатель. Если он разложен на линейные множители, то запрещенные числа видны невооруженным глазом. В крайнем случае необходимо приравнять каждый линейный множитель к нулю и решить уравнение. Так как все их корни — запрещены для попадания в окончательный ответ, то лучше всего перечеркнуть знаки равенств на всех этапах записи знаменателя.

Комментарий репетитора по математике: для практической реализации алгоритма удобнее именно находить запрещенные числа. Иначе ребенко увязнет в вычислениях, когда каждый корень числителя он будет вынежден подставлять в неразложенный знаменатель. Еще одно преимещество состоит в обосновании того, почему корень числителя не подходит. Если сбоку от основного уровнения в списке запрещенных чисел будет стоять x не равно 2, то без лишних комментариев понятно, что число 2 не подходит.

Четвертый шаг репетитора по математике: обучение оформлению решения. Не советую записывать числитель и знаменатель под знаком одной системы :

\begin{cases} x^2 + 5x + 6=0 \\  x^2 - 4 \ne 0\end{cases}

Все равно рассуждения, положеные в основу алгоритма, относятся к ним по отдельности и также по отдельности приводят к появлению корней и запрещенных чисел. Все равно придется разорвать систему и повозиться с каждым объектом.

Удобнее всего тетрадный лист поделить пополам вертикальной чертой. Слева находим корни уравнения, а справа выписывать запрещенные числа.

Пятый шаг репетитора по математике — закрепление алгоритма в практической работе. Нужно решить как можно больше уравнений. Отмечу, что для оптимизации повторения желательно перебрать в знаменателях весь спектр формул сокращенного умножения в комбинации с вынесением общего множетеля за скобку. Важно подобрать один-два примера совпадением заперенного корня и удалением его из ответа, один два примера на иррациональный ответ, один-два на пустое множество. То есть перебрать все варианты.

Послесловие. Если репетитор по математике видит, что ученик не может разложить на множители простейший многочлен x^-4, то нет смысла разбирать с ним дробные уравнения вообще. Придется хотя бы на некоторое время вернуться в 7 класс. Талант репетитора математики здесь заключается в том, чтобы отличить незнающего ученика от того, который просто забыл, что учеником забывшим непознанного.

Колпаков Александр Николаевич, профессиональный репетитор по математике Москва, Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий