Материалы в помощь репетитору по матемтаике. База интересных конкурсных задач по геометрии для 9-го класса, Она содержит только проверенные и зарекомендовавшие себя на репетиторских уроках задачи, доступные для демонстраций широкому кругу учащихся среднего и высокого уровня математических знаний. Я специально отбирал такие задачи. Их решения, во-первых, максимально точно раскрывают суть используемых в них теоретических сведений, а во-вторых, не перегружают учащихся чрезмерным количеством хитрых ходов и приемов внутри одной задачи. Некоторые из них составлены мной лично, другие взяты с реальных экзаменов в ВУЗы с повышенными требованиями по математике: РЭА им. Плеханова, Финансовая академия, ВШЭ, МГУ, МФТИ, МИФИ, МАИ и др. Важным критерием отбора задач являлось максимальное разнообразие их условий.
Репетитор по математике найдет в списке основные комбинации геометрических объектов, для нахождения элементов котрых используются площади или подобие треугольников. Репетитор может использовать задачи для подготовки учащихся к с4 на ЕГЭ в 11 классе и к задаче 23 в 9-ом классе на ГИА по математике в новой форме.
Это не готовые комплекты упражнений, в которых обязательно присутствали бы однотипные задачи. Подборка ориентирована на занятия репетитора по математике с сильным учеником, целью которых является практика поиска решений задач, а не натаскивание на использование стандартных приемов и методов.
1) Найдите угол B треугольника ABC, если известно, что высоты, исходящие из вершин А и С, пересекаются внутри треугольника и делятся точкой пересечения в отношении 5:2 и 4:5, считая от вершин.
2) Найдите площадь треугольника ABC, если стороны AB и BC равны соответственно 3 и 4, а длина медианы BM равна 2,5.
3) В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна к медиане BN. Найдите площадь треугольника ABC, если AM=2, BN=3.
4) В треугольнике ABC проведена биссектриса BQ. Известно, что 
. Найдите AQ и QC.
5) На основании треугольника взята точка и через нее проведены две прямые, параллельные боковым сторонам этого треугольника. Площади двух отсекаемых треугольников равны 9 и 16. Найдите площадь образованного параллелограмма.
6) На сторонах AB и AC треугольника ABC отложены отрезки 
. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника AMK?
7) На сторонах параллелограмма ABCD взяты соответственно точки K,L,M,N таким образом, что AK:KB=3:2, BL:LC=1:3, CM:MD=2:1, AN:ND=1:4. Найти отношение площадей треугольников DNK и DLM.
8) Основание треугольника делится высотой на части длиной 36см и 14см. перпендикулярно к основанию проведена прямая, делящая площадь треугольника пополам. Определите части, на которые эта прямая разбила основание.
9) Сторона треугольника равна 8см, а высота, проведеная к ней равна 6см. В этот треугольник вписан квадрат так, что две его стороны лежат на соновании, а две другие на его боковых сторонах. Найдите стороны этого квадрата.
10) В треугольнике ABC проведены высота BE и биссектриса AK, пересекающиеся в точке О. Найдите площадь треугольника BEC, если BO:OE=3:2, AB=16, AC=14.
11) Медианы некоторого треугольника равны 15см и 12см и пересекаются по углом 
. Найдите площадь треугольника.
12) В правильном треугольнике некоторая точка удалена от его сторон на 1см, 2см и 3 см. Найдите высоту треугольника.
13) В равнобедренном треугольнике ABC длина боковых сторон AB и BC относится к длине основания AC как 5:6. Найти длину высоты AD, если расстояния от некоторой точки M треугольника ACD до его сторон AC, AD и CD соответственно равны 9, 9 и 3.
14) В треугольнике ABC известно, что AB=BC=15, AC=24. Найти расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника.
15) В равнобедренном остроугольним треугольике ABC известно: AB=BC=10, расстояние от точки пересечения высот до вершины А равно 45. Найдите площадь треугольника.
16) Площадь прямоугольного треугольника равна 
, а гипотенуза равна 4. Найдите проекцию большего катета на медиану прямого угла.
17) Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 12,15 и 20.
18) В треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины отдного угла делят противоположную сторону на 4 равных отрезков. Найдите этот угол.
19) Известны длины сторон треугольника ABC: AB=6, CA=7, BC=5. На луче BC выбрана точка F так, что 
. Найдите меньшую сторону треугольника ACF.
20) Прямая, проходящая через вершину А параллелограмма АВСD, удалена от вершин D и B на 5см и 3см соответственно. Найти расстояние от вершины С до этой прямой.
Сборник предназначен для школьных преподавателей математики, репетиторов по математике и учеников 9-11 классов, проявляющих интерес к планиметрии. Для факультативов и индивидуальных уроков математики.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва. Строгино.
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }