Олимпиада в ГУ-ВШЭ. Демонстрационный вариант с подсказками и указаниями от репетитора по математике

by Колпаков А.Н. on 3 февраля 2011

Абитуриентам, поступающим в ГУ-ВШЭ (Высшая Школа Экономики) «сайт профессиональный репетитор по математике» предоставляет возможность попробовать свои силы в решении вариантов олимпиад. Для тех, кто решил обойтись без репетиторской помощи и готовится к олимпиадам самостоятельно (таких посетителей этой страницы большинство) я предлагаю свои комментарии и указания по решению заданий. Замечу, что реальный вариант олимпиады по математике в ВШЭ может быть значительно труднее демонстрационного (как и демонстрационный / пробный вариант ЕГЭ в сравнении с реальным).

Олимпиада по математике в ГУ-ВШЭ для 11 класса. Межрегиональная олимпиада.

1) Область определения функции y=\sqrt{|x|-3} cовпадает со множеством
a) x \geqslant \pm 3
б) x \leqslant -3;x \geqslant 3
в) -3 \leqslant x \leqslant 3
г) x \leqslant \pm 3
д) x \geqslant 3

Указание репетитора по математике: Найдите значения переменной при которой подкоренное выражение принимает неотрицательные значения. Составьте и решите неравенство с модулем.

2) В лицее 70 учеников. Из них 40 человек увлекается физикой (физики), а 50 человек увлекаются математикой (математики), 10 ребят не увлекаются ни физикой ни математикой. Сколько математиков увлекается физикой?
а) 30
б) 26
в) 32
г) 36
д) 28

Указание репетитора по математике: Задача решается без всякого уравнения при помощи формального или интуитивного применения свойств объединения и пересечения множеств. Можно воспользоваться равенством A \cup B=A+B \backslash A \cap B. Если вы не владеете множественным аппаратом, нарисуйте геометрическую модель задачи в форме прямоугольника, отвечающего за всех учеников лицея и двух пересекающихся кругов, соответствующих каждому классу учащихся. Найдите общую часть этих кругов точно так, как если бы вы находили ее площадь.

3) Если треугольник вписан некоторую в окружность с радиусом 8 см, то его сторона, лежащая напротив угла 30^\circ, равна
а) 8\sqrt{2}
б) 8
в) 8\sqrt{3}
г) 16\sqrt{3}
д) 16

Указание репетитора по математкие: Воспользуйтесь продолжением теоремы синусов, то есть равенством \dfrac{a}{SinA}=2R.

4) Выражение \dfrac{2}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}+a равно нулю при значении параметра a, равном
а) 1
б) 1-2\sqrt{3}
в) 4
г) -3-2\sqrt{3}
д) 5

Указание репетитора по математике:После приравнивания к нулю, сложения дробей и нахождения числа а не забудьте избавиться от иррациональности в знаменателе.

5) Отец разделил свой вклад в банк таким образом: дочери он передал 55% того, что досталось жене, а сыну 80% того, что досталось жене и дочери вместе. Сын получил больше дочери на 6900 рублей. Сколько денег получила жена?
а) 10000
б) 12400
в) 5500
г) 17900
д) 15500

Указание репетитора по математике: Введите переменную, равную сумме денег, доставшейся жене. Выразите через нее остальные величины и приравяйте их разность к 6900.

6) Прямые y=-ax^2+1=0 и y=x+a не имеют общих точек, при
а) a=2
б) a=1
в) a=\pm1
г) a=\pm2
д) a=-1

Указание репетитора по математике:Составьте линейное уравнение с правыми частями функций, перенесите слагаемые с x в левую часть, вынесите x за скобку и рассмотрите параметры a, при которых получившийся коэффициент перед x равен нулю.

7) Если продавец книг закупает книгу со скидкой 10% с ее номинальной цены, а продает ее по номиналу, то прибыль от этой операции составит:
а) 11,(1)%
б) 20%
в) 12%
г) 15%
д) 10%

Указание репетитора по математике: Обозначьте за x номинальную стоимость книги и выразите через нее стоимость со скидной (себестоимость). Найдите, какую часть этой себестоимости составит прибыль. Затем переведите полученную дробь в проценты, умножая ее на 100.

8) сумма целых решений неравенства \dfrac{x+1}{x^2+6x+5}\geqslant\dfrac{x+2}{x^2-2x-8} равна
а) -1
б) -2
в) невозможно определить
г) -4
д) -5

Указание репетитора по математике: Сократите дроби и с учетом расширения ОДЗ решите получившееся неравенство методом интервалов (удаляя из его ответа числа, не входящие в ОДЗ первоначального уравнения).

9) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 8см и площадью 16\sqrt{3} см^2 радиус вписанной окружности равен
а) \dfrac{4\sqrt{3}}{3}
б) 2\sqrt{3}
в) \dfrac{\sqrt{3}}{2}
г) 5-2\sqrt{2}
д) 8-4\sqrt{2}

Указание репетитора по математике: Найдите синус угла при вершине равнобедренного треугольника, затем по теореме косинусов вычислите противлежащую ему усторону, затем найдите полупериметр р и воспользуйтесь формулой S=pr, где r — радиус описанной окружности.

10) Формула S_n=n^2-6n вычисляет сумму первых n членов
а) арифметической прогрессии с разностью 2
б) арифметической прогрессии с разностью 3
в) арифметической прогрессии с разностью 1
г) последовательности, не являющейся прогрессией
д) геометрической прогрессии

Указание репетитора по математике: выразите сумму первых n членов арифметической прогрессии через ее первый член a_1 и разность d. Затем приравняйте это выражение к n^2-6n, сократите на n и приравнивая друг к другу коэффициенты многочленов c переменной n найдите a_1 и d.

11) Если затраты на покупку бананов выросли на 50%, а их цена за килограмм увеличилась на 20%, то вес купленных бананов увеличился на
а) 30%
б) 48%
в) 32%
г) 24%
д) 36%

Указание репетитора по математике: затраты на покупку бананов — это их стоимость. Введите две переменные x и у (прежние затраты и прежняя цена) и используйте равенство
цена \cdot вес = стоимость для выражения веса бананов в каждом случае.

12) если отношение a/b=\sqrt{3}, то значение дроби
\dfrac{a^2-ab}{ab-2b^2} равно
а) 8-6\sqrt{2}
б) \sqrt{2}+1
в) 12-7\sqrt{3}
г) -3-2\sqrt{2}
д) -3-sqrt{3}

Указание репетитора по математике:Выразите a через b и подставьте полученное выражение в дробь\dfrac{a^2-ab}{ab-2b^2}. Переменная b при этом сократится.

13) вычислите значение выражения Cos195^\circ\sqrt{\dfrac{cos105^\circ}{cos195^\circ}}-Cos105^\circ\sqrt{\dfrac{cos195^\circ}{cos105^\circ}}
а) -1
б) 1
в) 0
г) 2
д) -2

Указание репетитора по математике:Перейдите при помощи формул приведения к острым углам во всех тригонометрических функциях и внесите множители под знак корня. Можно это делать сразу, то тогда учтите, что косинусы, расположенные перед корнями отрицательные.

14) Наименьший корень уравнения \sqrt{x-sin15^\circ}+\sqrt{tg15^\circ-x}=\sqrt{tg15^\circ-sin15^\circ}, равен
а) \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
б) 2-\sqrt{3}
в) 2+\sqrt{3}
г) корней нет
д) \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Указание репетитора по математике: Важно не испугаться и выполнить стандартное преобразование уравнения. Оно решается непосредственным возведением обеих его частей в квадрат и последующим приравниванием подкоренных выражений к нулю. Из двух значений тригонометрических функций, претендующих на ответ, следует выбрать и вычислить наименьшее (для этого в самом начале решения уравнения стоит доказать, что y=\dfrac{|x+1|}{x^2-1} на промежутке x\in[-1;2] является множество
а) [0,5;+\infty)
б) (-\infty;-0,5)\cup[1;+\infty)
в) (-\infty;-0,5]\cup(1;+\infty)
г) (-\infty;0)\cup[0,5;+\infty)
д) (-\infty;-0)\cup(0,5;+\infty)

Указание репетитора по математике: На данном отрезке выражение под модулем принимает только положительные значения. Поэтому знаки модуля можно опустить. Сократите полученную дробь на x+1 и рассмотрите гиперболу y=\dfrac{1}{x-1} на полуинтервале x\in(-1;2]. Замечая, что x=-1 не входит в область определения начальной функции, выколите точку графика при x=-1.
У оставшейся части гиперболы в полосе -1<x \leqslant 2 укажите область ее значений.

16) График функции y=\dfrac{3}{2-x} лежит выше прямой y=1 при всех значениях x из множества
а) (0;+\infty)
б) (-1;2)
в) (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)
г) (-\infty;2)\cup(5;+\infty)
д) (2;5)

Указание репетитора по математике: Изобразите гиперболу (сдвинув график функции y=\dfrac{-3}{x} на 2 вправо) и прямую, паралллельную оси ОХ. Определите участок оси ОХ, на котором гипербола расположена выше прямой. Точную границу этого участка можно найти приравнявая аналитические выражения двух данных функций и решая соответствующее уравнение.

17) Множество решений тригонометрического уравнения tgx \cdot ctgx + Sin4x =1 находится по формуле
а) \pi n

б) \dfrac{\pi}{4} n

в) \dfrac{\pi}{2} n

г) \pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n

д) \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2} n

Указание репетитора по математике: Замените произведение тангенса и котангенса на 1, но учтите, что получится уравнение, не равносильное исходному. Причина этой не равносильности — расширение ОДЗ. Решите уравнение с единицей и отберите среди его корней те, у которых существуют тангенс и котангенс (то есть придется удалить из ответа границы четвертей).

18) Наибольшее значение функции Cos2x-8Sinx равно
а) 6
б) 7
в) 10
г) 9
д) 8

Указание репетитора по математике: Преобразуйте выражение по формуле косинус двойного угла и рассмотрите сложную фукцию с внутренним синусом. Замените его на новую переменную и найдите область значений получившейся квадратичной функции на отрезке [-1;1].

19) Все решения уравнения Sin\left ( \dfrac{\pi x}{5}\right )= - Sin\left ( \dfrac{\pi}{5}\right ) получаются по формуле
а) (-1)^{n+1}+10n
б) -1+10n
в) 6+10n
г) (-1)^{n+1}+5n
д) \pm 1 + 10n

Указания репетитора по математике: По структуре уравнения напрашивается перенос правого синуса в левую часть и последующее разложение суммы синусов на множители. Так можно сделать, но лучше обратить внимание на отсутствие переменной в правой части. Поэтому перед нами замаскированное правым синусом простейшее тригонометрическое уравнение вида sinx=a,причем a=- Sin\left ( \dfrac{\pi}{5}\right ) \in [-1;1] . От вас требуется только записать стандартную формулу для нахождения угла \dfrac{\pi x}{5}, вынести из-под акрсинуса знак и заменить arcsin (sin \left ( \dfrac{\pi}{5}\right ) [/math] на \dfrac{\pi}{5}.

20) До кризиса фонд зарплаты преподавателей математики составлял 20% общих расходов. Во время кризиса фонд зарплаты преподавателей уменьшился на 20%, то есть при неизменных остальных расходах средства на зарплату от общих расходов составляют
а) 20%
б) 16%
в) 15%
г) \dfrac{400}{29}%
д) 16,(6)%

21) Площадь фигуры, определяемой условием \sqrt{1-x^2} \cdot (1-|x-y|)\geqslant 0 равна
а) 2
б) 3
в) 1
г) 8
д) 4

Указание репетитора по математике: Изобразите фигуру, заданную условием 1-|x-y|\geqslant 0 (область между двумя параллельными прямыми) и пересеките ее с вертикальной полосой точек, удовлетворяющих условию y= (arccosx)^2+2\pi \cdot arccosx - \pi^2 равно
а) -2 \pi^2
б) -\pi^2
в) нет наименьшего значения
г) 2 \pi^2
д) \dfrac{\pi^2}{4}

Указание репетитора по математике: Примените метод нахождения области значений сложной функции. Введите внутреннюю функцию t(x)=arccos x и найдите область значений внешней функции [/math]p (t)=t^2+2\pi t — \pi^2[/math] на отрезке [0;\pi].

23) Графики функций y=\dfrac{|x-1|}{x-1} и y=|x-a| имеют только одну общую точку при любом значении параметра a из множества
а) (-2;0]
б) [0;2]
в) [-1;0)
г) (0;2]
д) [-2;0)

Указание репетитора по математике: Нарисуйте график функции f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1} (два параллельных оси ОХ луча) и найдите такие положения второго графика g (x)=|x|, перемещающегося в зависимости от параметра вдоль оси ОХ, при которых он имеет одну точку пересечения с f (x). Параметры, соответствующие этим положениям, запишите в ответ.

24 Если a \in \left ( \dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2} \right ), b \in \left ( \dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3} \right ), то значение выражения Sin(a-b) принадлежит промежутку
а) (\dfrac{1}{2};1)

б) (-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2})

в) (\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2})

г) (-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2})

д) (-\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2})

Указание репетитора по математике: При помощи пребразований с двойными неравенствами оцените величину a-b (интервал значений выражения a-b), затем найдите, какие значения принимает функция y=Sinx на этом множестве.

25 Среди приведенных, указать тот тот промежуток, где уравнение \dfrac{|x^2-x-2|}{x^2-x-2}+(x+a)^2=0 имеет два различных корня.

а) a \in (-\infty;-2)
б) a \in (0;0,5)
в) a \in (0,5;1)
г) a \in (-0,5;0)
д) a \in (3;+\infty)

Комментарий репетитора по математике: Составители олимпиад по математике в ГУ — ВШЭ славятся своими неточными, размытыми и неаккуратными математическими формулировками заданий. Этот номер из их числа. Поможем составителю исправить текст на более понятный: укажите промежуток значений параметра, при которых уравнение имеет два различных корня.

Указание репетитора по математике раскройте модуль на двух разных областях оси X. На одном множестве ни при каком параметре уравнение не будет иметь решение, а на другом оно будет иметь 2 корня x_1=1-a и x_2=-1-a только если они оба лежат в интревале (-1;2).

26) Сумма целых решений неравенства \sqrt{3-x}-\sqrt{3+\sqrt{x+3}-x}\leqslant4 равна
а) 21
б) -3
в) 0
г) -6
д) 15

Указание репетитора по математике: докажите, что значения левой части неравенства неположительны на ОДЗ. В этом случае все значения левой части при x \in ОДЗ будут меньше 4.

27)Найдите множество значений функции y=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+3x+3}
а) \left [ \frac{1}{3};3 \right ]

б) \left [ \frac{1}{2};3,5 \right ]

в) \left [ \frac{2}{3};2 \right ]

г) \left [ -\frac{1}{3};3 \right ]

д) \left [ -3;-\frac{1}{3} \right ]

Указание репетитора по математике: Множество значений данной функции совпадает с множеством тех параметров a, при которых уравнение y=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+3x+3}=a имеет решение.

28) Сумма всех целых значений параметра a, при которых неравенство x^2+3x+a^2-9a<0 выполняется для всех x\in(2;3), равна
а) 14
б) 16
в) 9
г) 27
д) 18

Указание репетитора по математике: требуется найти все параметры, при которых дискриминант больше нуля и оба числа 2 и 3 лежат между корнями квадратного трехчлена. Для этого воспользуйтесь теоремой: число p лежит между корнями квадратного трехчлена ax^2+bx+c тогда и только тогда, когда выполняется характеристическое неравенство a\cdot f(p)<0.

29) Все значения a, при которых уравнение 4^x+a\cdot2^x+a-2=0 не имеет решений, образуют множество
а) (-\infty;+\infty)
б) \varnothing
в) (0;2)
г) (-\infty;0)\cup(2;+\infty)
д) (2;+\infty)

Указание репетитора по математкие:RАналогичная предыдущему номеру задача с параметром. Сделайте замену 2^x=t, перейдите к квадратному уравнению и поставьте цель найти все параметры, при которых это квадратное уравнение не имеет положительных корней. Для этого можно использовать теорему о расположении числа p относительно корней квадратного трехчлена:
число p лежит правее любого корня квадратного трехчлена ax^2+bx+c тогда и только тогда, когда выполняется система условий:
\begin{cases} a \cdot f(p)>0 \\ D \geqslant 0 \\ \dfrac{-b}{2a}
<p\end{cases}

для данной задачи первое и третье неравенства надо заменить на нестрогие и отдельно разобрать случай, когда D<0.

30) Сумма всех целых положительных значений x и y, удовлетворяющих уравнению x^2+xy-2y^2-7=0, равна
а) 7
б) 6
в) 5
г) 4
д) 3
Указание репетитора по математике Разложите на множители левую часть уравнения методом групировки (предварительно заменив одно из слагаемых суммой) и рассмотрите все варианты разложения числа 7 на множители.

Советы по использованию варианта.

Замечу, что репетитор по математике может на своих занятиях провести полноценную репетицию олимпиады в ВШЭ, так как время, отведенное на работу (на все 30 заданий отводится 90 минут) в точности совпадает со среденстатистическим временем репетиторского урока (в отличие от ГИА и ЕГЭ по математике). Одинственное изменение, которое я советую репетиторам внести в вариант олимпиады — отказ от формы тестирования в некоторых номерах. Для точного ознакомления с особенностями написания олимпиады в ВШЭ публикация варианта выполнена с сохранением всех нюансов реального испытания. Для учебных целей лучше убрать с глаз ответы тех заданий, которые не несут никакой смысловой нагрузки и приведены исключительно для сравнения их с правильными. Присутствие ответов часто отвлекает ученика от процесса решений задач и мешает сосредоточиться на исследовании предложенной ситуации.

Колпаков Александр Николаевич.
Репетитор по математике, Москва, Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий