Олимпиада в ГУ-ВШЭ. Он-лайн вариант c развернутыми комментариями и указаниями репетитора по математике. Методические советы репетиторам

by Колпаков А.Н. on 7 февраля 2011

Вниманию репетиторов по математкие и абитуриентов, поступающих в Высшую Школу Экономики (ГУ-ВШЭ) предлагаются задания с реального он-лайн варианта олимпиады. Тестирование знаний проводилось в январе 2010г в стандартной для ВШЭ форме: 30 задач на 90 минут. Оформлять и показывать решения не требуется. При тестовой форме контроля знаний испытуемый должен указать только номер ответа.

Обратите внимание на специфику олимпиады в ВШЭ. По сравнению с аналогичными испытаниями по математике в других ВУЗах, олимпиада в ВШЭ несет в себе почти полный отказ от классических формулировок заданий. Вместо привычного: решите уравнение, вас попросят, например, выявить промежуток, в котором лежит наименьший целый его корень. Вопросы к большинству номеров так составлены, что в их тексты включаются возможные варианты самих ответов. Для школьников эта привязка является непривычной и на плечи репетитора по математике ложится еще и забота по обучению перевода вопросов в привычную форму. В некоторых моих комментариях к заданиям репетиторы найдут примеры адаптаций таких формулировок для лучшего их понимания среднестатистическим абитуриентом.

Совет репетитора ученикам: Если вы хотите успеть решить весь вариант, то, учитывая дефицит времени, вам придется экономить его на более легких заданиях из начала списка. Старайтесь как можно быстрее пройти первые 10-12 номеров из расчета 2 минуты на каждый. Иначе вы не успеете даже приступить к последним задачам.

1) Уравнение tga \cdot ctg(\pi-a)\cdot x = Sin4a-x имеет бесконечное множество решений при всех a из множества (n \in Z
а) \varnothing

б) \dfrac{\pi}{2} n

в) \dfrac{\pi}{4} n

г) \dfrac{\pi}{4}+\pi n

д) \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2} n

Указание репетитора по математике: Переведем вопрос в более понятную форму: при каких значениях параметра a уравнение имеет бесконечное множество решений. При решении задания обратите внимание на то, что левая часть существует и равна -1 \cdot x не при всех значениях параметра, поэтому после записи необходимого условия для параметра (Sina=0) не забудьте из его ответа исключить те значения а, при которых не существует тангенс или котангенс.

2) В равенстве \dfrac{\sqrt[4]{a^5 \cdot \sqrt{a^{1/7}}}}{a^{-5/8}}=a^p показатель p равен

а) \dfrac{44}{27}

б) 2

в) \dfrac{65}{12}

г) 4

д) \dfrac{53}{28}

Указание репетитора по математике: Преобразуйте левую часть, переводя все корни в степени с дробными показателями и приравняйте показатель левой части к показателю правой.

3) Отец поделил вклад в банке таким образом: дочери он отдал 55% того, что отдал жене, а сыну отдал 80% того, что отдал дочери и жене вместе. В итоге сын получил больше дочери на 6900 руб. Сколько денег отец отдал сыну?

a) 5500 руб
б) 17900 руб
в) 12400 руб
г) 10000 руб
д) 15500 руб

4) Если треугольник вписан в окружность радиуса 8 см, то его сторона, лежащая напротив угла в
60^\circ

а) 8 см
б) 8\sqrt{2} см
в) 16 см
г) 16\sqrt{3} см
д) 8\sqrt{3} см

Указание репетитора по математике: Думаю, что составитель задания специально назвал треугольник вписанным, а не окружность описанной, так как это мешает абитуриенту вспомнить дополнительную часть теоремы синусов: отношение стороны треугольника к радиусу описанной около него окружности равно диаметру окружности.

5) Число действительный корней уравнения
\left ( \dfrac{x^3-1}{x-1} + 2 \left ( \sqrt{6-x-x^2} \right )^2 - 11 \right ) \cdot (x^2+x-12)=0 равно

а) 1
б) 2
в) 3
г) 4
д) 0

6) В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга составляет 0,3 его высоты, а периметр треугольника равен 80. Меньшая сторона равна
а) 28
б) 32
в) 12
г) 8\sqrt{2}
д) 24

Указание репетитора по математике: выражая радиус через высоту, приравняйте правые части следующих формул площади треугольника:

  • полупроизведение основания на высоту
  • произведение полупериметра основания на радиус вписанной окружности

7) Наименьший корень уравнения (4Cos2x-Cos8x) на промежутке \left ( 0;\dfrac{\pi}{2} \right ) равен
а) \dfrac{\pi}{6}

б) \dfrac{\pi}{4}

в) \dfrac{\pi}{8}

г) \dfrac{\pi}{10}

д) 0,3 \pi

Указание репетитора по математике: Среди корней уравнения, попадающих в указанный интервал треубется указать наименьший корень. Найдите производную в левой части (как разность двух сложных функций) и разложите ее на множители. Приравнивая каждый множитель к нулю, и, решая два простейших тригонометрических уравнения, выберите из их ответа только те углы, которые лежат в первой четверти, а затем среди них найдите меньший.

8) Если f(x)=\dfrac{x^2-8x+15}{5-x} - \sqrt{x^2-8x+16}, то f(\frac{2}{3}) равно

а) \dfrac{17}{3}

б) 7

в) \dfrac{23}{3}

г) -1

д) 1

Указание репетитора по математике: не спешите сразу же подставлять вместо переменной ее значение. Сначала сократите уменьшаемое на 5-х, под знаком корня замените x^2-8x+16 квадратом линейной скобки и сократите корень. При сокращении корня и квадрата не забудьте повесить на результат знак модуля.

9) Сумма корней уравнения \dfrac{Cos \pi x}{\sqrt{2+x-x^2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2+x-x^2}} равна

а) 6

б) \dfrac{7}{6}

в) \infty

г) -\dfrac{5}{3}

д) 1

Указание репетитора по математике по решению задания: Не стоит умножать обе части равенства на знаменатель. Лучше перенесите дробь из правой части в левую, выполните сложение и найдите нули полученного числителя. Затем удалить из них те, которые не попадают в ОДЗ, то есть в ответ неравенства 2+x-x^2 \geqslant 0. Затем сложите найденные корни.

Комментарий репетитора по математике По предложенным ответам можно составить представление о преподавателе ВУЗа, составившего это задание. Скорее всего, он смутно представляет себе содержание школьных программ или не знаком с методическими правилами, запрещающими преподавателю использовать для контроля знаний математические понятия не в них не входящие. Это касается знака бесконечности в 3-ем ответе. Максимум, что мог изучить абитуриент по теме бесконечностей — нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Но в 9 классе изучается только конечная, сумма, то есть равная числу. Абитуриент не знает, как можно сложить числа в бесконечном ряду и что при этом получится. Репетитор по математике при разборе варианта должен как-то сгладить разницу между ВУЗом и школой, но даже наличие у репетитора большого опыта общения с абитуриентами не всегда гарантирует выход из сложившейся ситуации. Почему? Потому что нужна теория пределов и числовых рядов.

Главный помощник преподавателя математики в такой ситуации — способности ученика и его интуитивное чувство числа. Не советую репетитору ввязываться в формальности определений предела последовательности. Лучше показать ученику несколько примеров числовых рядов с различным и ясным поведением их частичных сумм. Только на таких примерах можно суть знака бесконечности.

10) В треугольнике PQS основание PS равно 60. Медиана и высота, проведенные стороне PS соответственно равны 12см и 13 см. Меньшая боковая сторона треугольника равна
а) 27
б) 28
в) 29
г) \sqrt{751}
д) \sqrt{769}

Указание репетитора по математике: Простая задача. Меньшая сторона треугольника соответствует меньшей проекции на основание PS. Если вы это знаете — можно сэкономить время на вычислениях. Для нахождения этой проекции в прямоугольном треугольнике со сторонами 12см и 13 см по теореме Пифагора найдите проекцию медианы.

11) Второй, девятый и тринадцатый члены арифметической прогрессии являются последовательными членами геометрической прогрессии. Ее знаменатель равен
а) \dfrac{4}{7}

б) \dfrac{-4}{7}

в) \dfrac{3}{4}

г) \dfrac{-7}{4}

д) \dfrac{7}{4}

Указание репетитора по математике:
Выразите все указанные члены арифметической прогрессии через a_1 и d, а затем воспользуйтесь характеристическим свойством геометрической прогрессии: три ненулевых числа a,b,c являются последовательными членами арифметической прогрессии, когда верно равенство b^2=a \cdot c .

12) Значение выражения arctg(\sqrt{1 \sqrt{3}}-1)-arctg(\sqrt{2 \sqrt{3}}+1) равно
а) \sqrt{3}

б) -\dfrac{\pi}{6}

в) - \sqrt{3}

г) \dfrac{5 \pi}{6}

д) \dfrac{\pi}{6}

Указание репетитора по математике:
Разность данных арктангенсов это угол, который лежит в промежутке 0;\dfrac{\pi}{2} Доказать это можно через оценку области значений функции арктангенс для положительных значений аргумента (находящихся в скобках). Поскольку y=arctgx — убывающая функция, то уменьшаемое больше вычитаемого. Следовательно заданная разность лежит именно в положительной части промежутка \left [ -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right ] . Так как на полученной области котангенс ведет себя монотонно и каждое свое значение принимает ровно в одной точке, то достаточно просто найти котангенс от нашей разности и по этому значению уже можно легко найти угол. В процессе вычисления котангенса вам потребуются формулы ctg(x-y)=\dfrac{ctgx \cdot ctg y +1}{ctgy-ctgx} и ctg(arctgx)=x

13) Вычислить:\sqrt{6,25-\sqrt{34}}-\sqrt{6,25+\sqrt{34}}

а) \sqrt{10,25}
б) -2
в) 2\sqrt{2}
г) \sqrt{10,25}
д) -\sqrt{10,25}
е) -2\sqrt{2}

Указание репетитора по математике: Найдите сначала квадрат этого числа, только не забудьте при извлечении корня из результата учесть, что искомое число отрицательное.

14) Сумма всех целых положительных значений x и y, удовлетворяющих уравнению x^2+xy-2y^2-14=0, равна

а) 5
б) 7
в) 4
г) 6
д) 9

Комментарий репетитора по математике: Есть целый раздел математики в которых изучаются такие уравнения. Они называются диофантовыми. Главное их отличие от всех остальных уравнений в том, что их решение нужно искать в целых числах. То есть, например пара (-0,5;4) не может попасть в ответ уравнения. Одним из способов решить диофантово уравнение является перенос свободного коэффициента (числа 13) в правую часть и разложение левой части на множители. Так как у 13 всего 4 целых делителя: \pm 1; \pm13, то сравнительно быстро можно найти все комбинации его разложения и, приравнивая к ним множители из левой части, решить несколько простых линейных систем. Учитывая поиск только положительных x и y, некоторые комбинации можно не рассматривать. ускорить тем самым процесс решения.

15)Наименьшее значение функции y=sinx-\dfrac{x}{2} на промежутке x \in \left [-\dfrac{\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2} \right ] равно

а) -\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{6}

б) \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{6}

в) -\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi}{6}

г) -\dfrac{\pi}{4}-1

д) 1-\dfrac{\pi}{4}

Указание репетитора по математике: Можно провести самое обычное исследование непрерывной функции на отрезке. Найдите производную, а затем критические точки, попадающие в указанный отрезок. После этого найдите значения функции в критических точках и на концах отрезка и выберите для ответа наименьшее из них. Можно расставить знаки производной внутри указанного промежутка найти значения только в точках минимумов.

16) Если \dfrac{sin \frac{x}{2}-3Cos \frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}+5Cos\frac{x}{2}}=3, то x принадлежит

а) третьей четверти
б) четвертой четверти
в) первой четверти
г) второй четверти
д) однозначно определить невозможно

Комментарий репетитора по математике: Вот она специфика олимпиады ВШЭ c отказом от традиционных формулировок. На классическом экзамене по математике можно было просто попросить решить уравнение. Большинство школьников не умеют работать с конструкциями «если – то» и не поймут, что конкретно следует искать. Репетитор по математике, работающий с вариантом, должен изменить в этом случае формулировку задания: найдите в какой четверти лежат все корни уравнения.

Указание репетитора по математике: Поделите числитель и знаменатель дроби на косинус того же угла и решите уравнение относительно тангенса. Затем найдите формулу для \dfrac{x}{2}, умножьте правую ее часть на 2, покажите все полученные по ней углы на тригонометрическом круге и определите четверть. Заметим, что при прибавлении к углу 2\pi номер четверти меняться не будет.

17) Множество решений неравенства \sqrt{16+8x+x^2}<3x равно
а) (2;+\infty)
б) (1;+\infty)
в) (-\infty;-2)
г) (-\infty;2)
д) (-\infty;-1) \cup (2;+\infty)

Указание репетитора по математике: Будьте осторожнее с возведением обеих частей неравенства в квадрат. Если это сделать без дополнительных условий, включенных в одну систему, вы получите неравносильный переход (разные ответы неравенств). В систему должна войти проверка ОДЗ (подкоренное выражение неотрицательно) и знака правой части, то естьA(1;-\frac{1}{2}) и B(2;1) расположены относительно прямой y= \sqrt{2}\cdot x- \sqrt{3} следующим образом:
а) обе выше
б) A — выше, B — ниже
в) А на прямой, В ниже
г) обе — ниже
д) А — ниже, В — выше

Указание репетитора по математике: Просто подставьте абсциссы этих точек по отдельности в функцию. Найдите значения функции в этих точках. Если значение больше ординаты — точка ниже прямой, если меньше, то ниже.

19) До кризиса фонд заработной платы преподавателей математики составил 25% общих расходов. В кризис фонд зарплаты преподавателей уменьшился на 40%, то есть при неизменных остальных расходах средства на зарплату от общих расходов составляют

а) 15 %
б) 16,(6) %
в) 20 %
г) \frac{300}{19}%
д) 25 %

20) Множество решений неравенства \dfrac{\sqrt{3+x-2x^2}}{(x-1)(x-5)}<0 равно

а) (-1;\frac{3}{2}
б) (1;1,5)
в) (-1;5)
г) (-1;1)
д) (1;5)

Указание репетитора по математике: подкоренное выражение должно быть положительным, а знаменатель отрицательным. Эти условия можно включить в систему и решить ее.

21) Все решения неравенства \sqrt{x+1}+\sqrt{7-x} \geqslant \log_3 (x^2-6x+90) принадлежат промежутку:

а) (2;4)
б) (4;7)
в) (-1;0)
г) \varnothing
д) (0;2)

Указание репетитора по математике:Найдите области значения левой и правой части. Все значения логарифма окажутся больше или равны 4, а значения левой части меньше или равны 4. Получить верное неравенство можно только при тех значении x, при которых и левая и правая часть равна четырем.

22) Ящик вмещает 16 кг пшена или 12 кг риса. Если его полностью заполнить и тем и другим на равные суммы, то содержимое будет стоить 90 руб и весить 15 кг. Общая стоимость 1 кг пшена и 1 кг риса равна

а) 14 руб.
б) 18б75 руб
в) 17 руб
г) 12 руб
д) 15 руб

23) Наибольшее целое значение a, при котором уравнение 4Sinx - 2 Cosy +3Cosx = a имеет бесконечное множество решений (x;y) равно

а) 7
б) 5
в) \sqrt{29}
г) 11
д) 9

Комментарий репетитора по математике По ответам тестов иногда можно судить об их проработанности и, как следствие, о качестве самого тестирования. Вариант ответа в) поражает своим очевидным несоответствием уровню задания. Мало-мальски грамотный абитуриент вычеркнет его моментально и увеличит тем самым вероятность угадать правильный ответ. Хороший тест не должен содержит ответов, которые можно выбрать или отклонить без решения. Репетитор, обучающий прохождению тестов в ГУ — ВШЭ научить ребенка отличать главную задачу от второстепенной. Я бы убрал слова «наибольшее»,«целое» и выделил тем самым абитуриенту «тело задачи»: при каких a уравнение имеет бесконечное множество решений?

Указание репетитора по математике: Для решения важно уловить то, что пара чисел (x;y) будет решением уравнения только тогда, когда для нее совпадают значения функции y=4Sinx + 3Cosx - a и y=2Cosy . При найденной паре (x;y) решениями уравнения будут также и пары (x;y+2\pi n), то мы получаем сразу бесконечное количество решений. Поэтому достаточно найти те значения параметра a, при которых области пересекаются. Для этого найдите область значений функции4Sinx + 3Cosx - a. Это можно сделать так:

  • вынести \sqrt{3^2+4^2} за скобку
  • заменяя полученные коэффициенты синусами и косинусами вспомогательного угла свернуть полученное выражение по формулам сложения углов SinxCosy+CosxSiny=Sin(x+y).
  • Коэффициент выражения определит его область значений.

24)Наибольший из корней уравнения \dfrac{4x}{6-x-x^2}-\dfrac{3x}{6-2x-x^2}+1=0 принадлежит промежутку

а) (8,12)
б) (\pi;10)
в) (3;7)
г) (-5;0)
д) (1;10)

Указание репетитора по математкие: вынесите икс в знаменателях за скобку и сократите на него обе дроби. После очевидной замены переменной вы получите простенькое дробное рациональное уравнение.

25) Множеством значений функции f(x)=\dfrac{4^x-2^x+16}{2^x-1} на промежутке x\in[-1;3] является

а) (-7 ; 9)
б) (-31,5 ; 9)
в) (-\infty ; 31,5] \cup [9;+\infty]
г) (-\infty ; -7] \cup [\frac{72}{7} ; +\infty]
д) (-31,5;\frac{72}{7}

Указание репетитора по математике: Данная функция является сложной функцией вида y=f(t(x)), где t(x)=x^2 и f(t)= \dfrac{t^2-t+16}{t-1} Сначала найдите множество значений внутренней функции t=2^x на указанном промежутке, а затем множество значений внешней функции на найденном промежутке. Для последней операции придется использовать производную.

26) Наибольшая разность f(x_1)-f(x_2) значений функции f(x)=x^3-x^2-9x+20 на отрезке [-4;4] равна

а) 32
б) 56
в) 91
г) 18
д) 81

Комментарий репетитора по математике: формулировку данного задания вполне можно отнести к категории нестандартных. Несмотря на его простое решение, большинство абитуриентов растеряется, так как объект f(x_1)-f(x_2) выпадает из привычного понимания и к нему, казалось бы, не применимы никакие известные алгоритмы. В школе обучают приемам нахождения наибольших значений функции только одной переменной, а здесь какие то x_1 и x_2.

Для лучшего понимания задачи репетитор по математике может предложить ученику более простую формулировку: найдите наибольшую разность значений функции на заданном отрезке.

Указание репетитора по математике: даже не пытайтесь выражать f(x_1)-f(x_2) через икс. Рассчет составителя сделан на понимание того, что эта наибольшая разность равна обычной разности между максимальным и минимальным значением функции на заданном отрезке. Поэтому от ученика потребуется всего лишь найти эти значение обычными средствами с примененим производной и вычесть из одного числа другое.

27) Сумма целых решений неравенства

\dfrac{(2arcsin0,8-arctg(-\frac{1}{3})) \cdot \sqrt{(x+3)(10+x)}}{x^2-10x+21}<0 равна

а) 17
б) 21
в) 20
г) 22
д) 15

Указание репетитора по математике: Вся сложность задания сконцентрирована, как ни странно, в определении знака числа 2arcsin0,8-arctg(-\frac{1}{3}). После деления на него обеих частей неравенство превращается в идентичное номеру 20. Для нахождения знака достачтоно убедиться в том, что углы 2arcsin0,8 и -arctg(-\frac{1}{3}) принадлежат промежутку [-\frac{\pi}{2};\pi] убывания функции y=Sinx . Поэтому для их сравнения нужно найти их синусы и перевернуть полученный знак на противоположный. Для того, чтобы доказать, что 2arcsin0,8 лежит в промежутке [-\frac{\pi}{2};\pi] достаточно сравнить arcsin0,8 с углом \frac{\pi}{2}

28) Неравенство y=\sqrt{x+5} и множества параллельных прямых с углом наклона 45^\circ. При каждом значении параметра решением неравенства будет тот промежуток, на котором график корня выше графика прямой. Для того, чтобы он содержал ровно 7 целочисленных точки, необходимо, чтобы абсцисса точки пересечения корня и прямой была бы больше единицы, но меньше или равна 2. Прямые y=x+a , имеющие такие пересечения с корнем, будут лежать между двумя параллельными прямыми, проходящими через точки графика y=\sqrt{x+5} с абсциссами 1 и 2. Надем параметры этих границ и запишем промежуток с такими концами в ответ.

Заметим, что ответ теста не совпадает с нашим полным ответом. Из предложенных чисел еще нужно выбрать то, которое лежит в полученном промежутке. Если бы формулировка была такой: найдите все параметры, при которых неравенство имеет ровно 7 целых решения, то ученику было бы легче построить план действий. Не пришлось бы отвлекаться на какие-то числа, не являющиеся границами полного ответа на поставленный вопрос. Данное задание относится к категории «для контроля и тестирования», а не обучения. Если репетитор по математике занят формированием навыков решения задач с параметрами, то лучше убрать все ответы и изменить формулировку.

29) Cумма всех целых значений параметра а, при которых неравенство x^2+3x+a^2-9a<0 выполняется для всех x \in (2;3) , равна

а) 27
б) 16
в) 9
г) 18
д) 14

30) Небольшой мебельный цех по производству мебели продает книжные шкафы и серванты. на изготовление одного книжного шкафа расходуется \frac{4}{3} м.^2 древесной плиты, \frac{4}{3} м.^2 сосновой доски и 3 человека-часа рабочего времени. Аналогичные данные приведены для производства серванта :
2м.^2 древесной плиты, 1,5 м .^2 сосновой доски и 2 человека-часа. прибыль от реализации одного серванта составляет 1200руб, а от одного шкафа — 500руб. В течение одного месяца в распоряжении цеха имеются: 180м.^2 древесной плиты, 165м.^2 сосновых досок и 160 человеко-часов рабочего времени. Найдите максимальную прибыль, которую может получить цех при самом лучшем планировании производства.

Комментарий репетитора по математике: классическая фоормулировка задачи по линейному программированию. Составители теста олимпиады в ВШЭ решили проверить абитуриента на способность выйти на самый простой метод решения задачи линейного программирования — графический. Необходимо обозначить переменными количество произведенных шкафов и сервантов (x и y), выразить через них функцию прибыли f(x)=500x+1200y и найти ее оптимальное значение на множестве, заданном системой неравенств:
\begin{cases} \frac{4}{3}x+2 \leqslant 180 \\ \frac{4}{3}x+1,5 \leqslant 165 \\ 3x+2y \leqslant 160\end{cases}

На координатной плоскости изображается это множество точек и определяется та, через которую пройдет прямая C=500x+1200y с наибольшим значением C.

Заключение: возможно опубликованные комментарии репетитора по математике покажутся покажутся слишком подробными, очевидными и в некоторых номерах даже лишними. Зачем давать указания по решению простых заданий? ВШЭ — серьезный ВУЗ и контингент школьников, ориентирующихся на него — способные дети, с достаточно высоким уровнем математического развития. Да, таких детей и отбирает Высшая Школа Экономики, но не все те, кто пробуют свои силы на олимпиадах отвечают высоким стандартам. Каких только абитуриентов я не встречает репетитор за годы своей репетиторской работы. В школе нет пятерки, уровень знаний средненький, а родители ориентируются на Высшую Школу Экономики, Финансовую Академию или на МГУ. На меньшее размениваться не хотят. И таких учеников много. Эта страница опубликована с расчетом и на них тоже.

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике, виртуальный он-лайн репетитор. Москва, Строгино.

Метки: Варианты олимпиад по математике, Примеры объяснений

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий