Репетитор по математике о методике работы с текстовыми задачами. Задачи на смеси, сплавы и растворы. Копилка приемов репетитора

by Колпаков А.Н. on 31 марта 2011

Как часто репетитор по математике встречается с неумением ученика решать текстовые задачи? К сожалению, это происходит в 7-8 случаях из десяти. Современные школьные учебники 8-11 классов так составлены, что большую их часть занимают выражения, функции, уравнения и неравенства. Текстовым задачам внимание уделяется по минимуму. Два параграфа в 8 классе (по учебнику Макарычева) и одна тема в 9-ом. Вот и все! Мало того, текстовые задачи никак не классифицируются и не рассматриваются отдельно. Все намешано и перемешано до такой степени, что слабый ученик толком не может уловить основные отличия одних задач от других. Два параграфа в 8 классе (по учебнику Макарычева) и одна тема в 9-ом. Вот и все! Два последних года перед сдачей ЕГЭ ребенок вообще не занимаются текстовыми задачами и если бы не репетитор по математике – так бы ничего на ГИА и не решил.

Это то, что касается ГИА. А что же ЕГЭ? Там он вынужден решать задачи B12. Однако, если до 9 класса он еще что то решал по программе, то в 10-11 класса текстовые задачи вообще не предлагаются. И опять, если бы не репетитор по математике – то провалил бы и B12. Вот и получается, что без помощи репетитора – никуда. Он как спасительная соломинка для родителей и учеников. На сегодняшний день репетитор принимает на себя функцию выпрямителя – корректором образовательных стандартов ФИПИ. К счастью, при определенном понимании родителями сути проблемы, во власти репетитора находится построение благоприятного для результата учебного плана. При желании на текстовые задачи можно потратить не 10 минут в конце урока, а 10 уроков на каждый их тип. Однако не всегда потраченное время отражается на результате, и не каждый репетитор по математике его может получить с отстающим учеником.

Предлагаю вашему вниманию одну из методик работы репетитора по математике с текстовыми задачами на примере достаточно редкого их вида: задач на смеси, сплавы, растворы и сушку (сушку грибов).

Точнее было бы сказать, что сами по себе задачи не штучные, но, по сути, переходят в такую категорию с легкой руки составителей школьных учебников. Смеси и сплавы в них также редко встречаются, как в старших классах задачи на действия в столбик. Что делать репетитору? Задач мало, а вся «теория» разбросана по учебникам математики 5-6 классов. Никаких подсказок и системных приемов в учебниках не описывается. Одни примеры решенных задач и готовые тексты с пояснениями к составленным уравнениям. И все! Расчет составителей различных экзаменов по математике, включающих задачи на растворы и сплавы делается на прочность знаний о процентах, полученных в 5-6 классе. Ох, как далеко это от ЕГЭ по математике. Промежуток в целых 5 лет. Именно по этой причине на ЕГЭ такие задачи вызывают наибольшую трудность.

За помощью к репетитору по математике обращаются не только слабые ученики, но и отличники. Почему? По той же причине. Не хватает практики и системного подхода к их решению.

Мои наблюдения за методикой работы различных репетиторов (от репетиторов — студентов до репетиторов – преподавателей ВУЗов) сформировали крайне печальную общую картину в плане методической эффективности приемов объяснений и оформлений задач на смеси. Я вижу школьные тетради учеников, вижу, как работали репетиторы до меня, вижу, что пишут репетиторы в тетрадях учеников и от увиденного, мягко скажем, я не в восторге. Складывается впечатление, что никто не знает, как правильно подавать тему и какие способы и приемы поиска решения позволяют максимально удобно и быстро его найти. Самая распространенная методическая ошибка среднестатистического репетитора по математике состоит в том, что преподаватель требует оформлять задачу, описывая каждое полученное по ходу решения буквенное выражение. В результате математическая тетрадь ученика превращается в сочинение на тему « как я провел лето в растворах и смесях». Ученик путается, не знает, в каком порядке ему выражать величины (и как это делать). Путается в описаниях

Между тем есть очень хорошая методика решения задач на смеси. Впервые я с ней познакомился еще тогда, когда учился на подготовительных курсах при МПГУ в знаменитой Школе Будущего Учителя (ШБУ). Великолепные преподаватели, которые с нами работали, сумели так раскрыть тему, что полученных знаний хватило не только для поступления на математический факультет указанного ВУЗа, но и для моей работы с учениками. Удобство метода позволило лучше понять и запомнить механизмы расчета параметров смесей и быстрее решать сложные задачи.

Теперь ближе к содержанию метода. Рассмотрим его работу на примере самого распространенного типа задач — смешивание двух веществ. Для трех и более работают те же законы. Разница в большем количестве взаимосвязей между параметрами. Существуют несколько правил, позволяющих репетитору наилучшего правильного и удобного рассуждений ученика.

Первое правило репетитора по математике.

Суть методики – максимально компактно представить информацию не только об условии задачи, но и обо всех промежуточные результатах вычислений. Цель репетитора по математике – научить школьника создавать модель реальной ситуации, максимально удобной для поиска, хранения и обработки информации. Ничего лучше табличного способа хранения данных я не знаю. Только здесь, как и в других текстовых задачах, составление таблицы имеет свою специфику. Для каждого вещества в ней отводится две колонки: одна для его измерений в общепризнанных единицах (граммах, килограммах, литрах), а другая в процентах.

Методики репетитора по математике. Задачи на смеси и сплавы. Таблица

Второе правило репетитора по математике.

Каждой смеси (сплаву) отводится своя таблица. Если имеется информация о добавлении в смесь или удалении из нее какого-то одного вещества, то необходимо сделать отдельную таблицу для нового состояния, а все изменения отметить соответствующими стрелками между строчками, и подписать рядом сними величину этих изменений.

Методики репетитора по математике. Задачи на смеси и сплавы. Таблицы для двух состояний Например, если в раствор доливают 60 граммов воды, то напротив строки вода репетитору следует подписывать +60 г.

Третье правило репетитора по математике: поэтапный подход к решению.

Сначала необходимо прочитать задачу до конца и выявить количество участвующих в ней растворов (смесей), составить для каждого из них свою таблицу, а уже потом пытаться переносить в них данные условия. Репетитор по математике должен научить школьника распознавать 3 основных типа задач:

1) Задачи на добавление какого-то одного компонента сплава или смеси. Схема для такой задачи выглядит так:

Методики репетитора по математике. Задачи на смеси и сплавы. Задача на доливание Репетитор по матемтике должен обязательно указать ребенку на специфику данного типа задач — количество одного вещества меняется, а другое сохраняется. Эта взаимосвязь используется для переноса выражения (или числа) из одной ячейки таблицы в другую.

2) Задача на смешивание двух растворов (сплавов). Схема состоит из двух таблиц:

Методики репетитора по математике. Задачи на смеси и сплавы. Задача на смешивание Специфика данного типа задач состоит в сохранности суммы веществ. Репетитору лучше записать с учеником в тетрадь следующую схему: кол-во соли в 1-ом растворе + кол-во соли во 2-ом растворе = кол-ву соли в новом растворе. Эту взаимосвязь репетитору по математике лучше всего использовать для составления системы уравнений в таких задачах. Переменными x и y лучше обозначить общий объем (или массу) каждого раствора, а уравнения составить так: одно по массе всего раствора, а другое по какому-нибудь одному веществу (например, по соли).

3) Задача выливание смеси. Для нее схема следующая:

Методики репетитора по математике. Задачи на смеси и сплавы. Задача на выливание Спецификой данного типа задач является сохранение процентного соотношения между компонентами. Для того, чтобы убедить ученика в истинности этого факта, репетитор по математике может привести пример с концентрацией фруктовой массы сока или с крепостью алкогольного напитка. Если из бутылки вылить в стакан однородную смесь, от этого ни доля фруктовой массы, ни крепость алкогольного напитка не изменится, так как сохраняется пропорция веществ.

Четвертое правило репетитора по математике.

После определения типа задачи и составления табличных заготовок репетитор с учеником приступают к их заполнению. Сначала нужно поставить в ячейки таблиц числовые значения величин, а уже потом вводить переменные. Это позволит снизить количество пустых полей и ускорит процесс принятия решения о том, что именно обозначить буквой икс. Пустые ячейка помогут ученику сообразить, какие именно величины выражать после введения переменной. Для этого нужно просто заполнять пропуски. При таком подходе легче определить, нужна ли вторая переменная или нет: если в предложенной репетитором задаче ученику не удается заполнить буквенными выражениями какие-то поля таблиц, то желательно ее ввести.

Есть золотое правило введения переменной: обозначайте буквой ту величину, с помощью которой можно быстрее и проще выразить остальные. Если в условии задачи даются равные значения величин, то именно в их ячейки лучше всего поставить по иксу.

Пятое правило репетитора по математике.

В процессе решения задачи заполняются ячейки таблицы до тех пор, пока не появятся заполненные поля тех ячеек, взаимосвязь между которыми еще не использовалась. Обычно это пропорциональное свойства 4 чисел. Тогда оно берется для уравнения.

Шестое правило репетитора по математике.

Все выкладки производятся вне таблицы, а в нее заносятся только результаты преобразований. Ручкой вносятся условия задачи, а все остальное — карандашом. . Во-первых его всегда можно стереть и справить результаты, а во-вторых условия задачи будут выделяться.

Седьмое правило репетитора по математике.

Репетитору необходимо отдельно остановиться на разборе метода нахождения четвертого пропорционального числа (компонента таблицы). В каждой колонке две ячейки принимают независимые значения, а третья — зависимое (оно находится или сложением или вычитанием). Это относится и к процентам и к весу (объему). Учитывая, что значение одной из ячеек всегда 100%, необходима знать еще две. Причем такие, которые не связанны с 100% законами сложения. Проще говоря (языком ученика), если в какой-нибудь таблице для смеси стали известны любые три числа, кроме процентной колонки, то в этой таблице можно найти все остальное. На рисунке показан фрагмент модели к задаче, с общим весом участвующего в ней вещества в 200 грамм и 6-ти процентным содержанием соли.

Методические приемы репетитора по математике. Задачи на смеси и сплавы. Нахождение четвертого пропорционального числа

Необходимо приучить ученика выявлять такие взаимосвязи до введения икса в задачу. В процессе обучения нахождению четвертого пропорционального числа по трем другим, репетитору по математике желательно обратить внимание ученика на соответствии расположения пропорциональных ячеек таблицы углам воображаемого прямоугольника. В них располагаются члены пропорции. Советую репетитору по математике регулярно проговаривать с учеником план составления порядка действий: числа, которые стоят по диагонали прямоугольника (наискосок), мы умножаем, а на последнее число, взятое с другой диагонали, делим. Ученик лучше его запомнит, если репетитор продемонстрирует ход выполнения операций соответствующей стрелкой на рисунке:

Методические приемы репетитора по математике. Задачи на смеси и сплавы. Нахождение четвертого пропорционального числа2

Замечание. Приходилось сталкиваться с такой методикой работы репетиторов и преподавателей, когда таблицы сужаются до двух строк. Да, согласен, почти всегда задачу можно решить «в две линии», так как третья компонента — зависимая от них, но такой подход годиться только для сильных учеников, которые способны держать в уме информацию о третье компоненте.

Слабый ученик в этом случае не получит полного представления о том, что влияет на ответ. Он может не догадаться использовать какой-нибудь параметр третьей компоненты, может забыть, например, что в его распоряжении есть постоянное значение одной из ячеек (100%), что числа в колонках таблицы связаны законами сложения. На мой взгляд, лучше оставить какие-то поля не использованными (пустыми), чем потерять взаимосвязи и, как следствие, само уравнение.

Кроме этого отмечу, что слабому ученику важно иметь единую стратегию решения задач. А все они разные. Где-то дается общий вес раствора, где-то только отдельные его части. Если репетитор по математике работает с правилом «минимум ячеек», то, приступая к задаче, ученик будет путаться в выборе той или иной схемы решения (системы таблиц).

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике в Москве. Профессиональный репетитор в Строгино.

{ 4 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Диана августа 26, 2011 в 17:13

Именно это прием использую при решении задач на сплавы, растворы и концентрации! Очень приятно, что моя методика совпала с Вашей! А научил меня так решать задачи замечательный преподаватель подготовительных курсов ВУЗа МИЭТ. Также он описан в пособии для подготовительных курсов вышеупомянутого ВУЗа. Кстати, эту схему репетитору полезно использовать и при решении любых других текстовых задач (на движение. работу и др.). Мои ученики всегда в восторге от таблиц и схем, говорят: «А в школе нас учили писать длинный текст на страницу».
Может, будет полезно следующее замечание: Я обычно таблички помечаю словами «Было» и «Стало». С уважением, Диана, репетитор по математике в Зеленограде.

Наталья февраля 12, 2012 в 21:05

Огромное спасибо за статью. Разбирала с ребенком эти задачи по Вашей методике. Она все поняла и просто счастлива, что все так просто оказывается. В школе рассказывали все сложнее и без таблиц. Всего доброго. С уважением, Наталья.

Татьяна апреля 20, 2012 в 1:48

Работаю в школе преподавателем математике уже 15 лет. Методику решения текстовых задач на таблицах изучила еще в 2000 году на курсах по учебникам Петерсона. С тех пор так и учу решать задачи. Радует, что даже в 5 — 6 классе ученики легко составляют правильные уравнения к задачам 8 — 9 класса. С удовольствием прочитала статью! Спасибо!

лариса мая 18, 2012 в 13:13

Замечательная статья.Все очень четко и понятно!

Оставьте комментарий