Репетитор по математике о проблемах низкого уровня знаний геометрии

by Колпаков А.Н. on 17 мая 2011

Уважаемые репетиторы, школьные преподаватели и родители! Многие из вас наверняка обращали внимание на тот факт, что дети значительно лучше знают алгебру, чем геометрию. И такая ситуация наблюдается уже не первый год. Причем репетитору иногда приходится «спасать утопающего» не в 7-8 классе, а 9-ом, за два-три месяца до ГИА или даже в 11-ом классе за месяц до ЕГЭ.

Репетитор по математике часто выявляет у ученика не просто пробелы в отдельных темах по геометрии, а полное отсутствие каких-либо знаний вообще. Даже если взять среднестатистического способного ребенка, любящего математику и занимающегося как положено, то все равно с геометрией у него будет похуже, чем с алгеброй. Много раз, работая с сильными абитуриентами (и даже с абитуриентами МГУ), я выявлял или различные проблемы с применением теории или обычное ее незнание. Про теоремы, не входящие в школьную программу вообще лучше не говорить. Примерно в 60-70% случаев к репетитору по математике приходят абитуриенты ВУЗов (с высокими требованиями по предмету), не знающие ни теорему Менелая, ни теорему Чевы, ни теорему Птолемея, ни расширенную формулу Герона, а иногда даже базовых свойств медиан, биссектрис и высот. И большинство сложных, но штатных расположений геометрических объектов у них вызывает различные трудности. Конечно, не у всех есть деньги на репетитора по математике и поэтому приходится рассчитывать или на школьного преподавателя, или на собственные силы, на курсы или просто даже на базу задач учебника. Однако школьный учебник по геометрии оказывается плохим помощником. Почему? В чем причина массового бессилия перед содержательными геометрическими задачами на ГИА и ЕГЭ?

Вопрос очень сложный и если в нем пытаться разбираться основательно, то мы утонем в анализе влияний огромного количества факторов как индивидуального ученического, так и методико-математического плана. Поэтому остановимся на двух главных моментах — временном и дидактическом.

Репетитор по математике, работающий со школьниками не один год, знает, насколько разнообразными могут быть геометрические задачи по каждой конкретной теме. Имеется большое количество ситуаций, в которых проявляются особенности математических объектов, не отраженные ни в каких теоремах учебника. Эти особенности отрываются только в практической работе с различными взаимосвязями между элементами рисунка. Научить ребенка ориентироваться в этом многообразии можно только на большом количестве разнообразных задач, времени на которые школьная программа не оставляет ни репетитору ни школьному преподавателю.

На первых порах, когда я еще только начинал работать репетитором по математике, мне казалось, что школьных задач, тематически ориентированных на отдельные параграфы учебника крайне мало. Да и выбор дидактических пособий был не велик. Сегодня профессиональный репетитор по математике может собрать в свою копилку огромную армию интересных и содержательных задач по геометрии на все темы. Материала предостаточно. Только успевай искать и отбирать. Однако, использовать удается лишь малую их часть.

Теорема о вписанной окружности на занятиях с репетитором по математике Действительно, успеет ли репетитор по математике разобрать хотя бы с десяток разных задач на окружность, вписанную в четырехугольник, если в школьной программе эту тему отводится что-то в районе одного — двух уроков? А ведь задач существует очень много.

Вместо того, чтобы посидеть на одной теме и неспеша разобраться с различными сочетаниями и расположениями геометрических объектов — ребенка каждую неделю переключают на новый материал. И так постоянно. Программа уходит все дальше и дальше, разброс по видам задачам растет, а времени на практическую работу даже по текущему материалу не остается. Не говоря уже о масштабном повторении. За лето большая часть знаний, которая все-таки успела закрепиться, — выветривается. И ситуация только усугубляется. Репетитор по математике мало чего может изменить в такой ситуации, поскольку дополнительное время невозможно взять из воздуха. Родители ограничивают преподавателя, как правило, весьма существенно и на три предмета (вместе с алгеброй и теорией вероятностей) выделяют репетитору всего-то один — два раза в неделю.

Содержание задач в учебниках по математике — это отдельная тема. Тот примитив, который составляет большую их часть (особенно по геометрии), годится только для знакомства с предметом, но никак ни для подготовки к мало-мальски серьезным испытаниям. Репетитор по математике владеющий приемами активизации мышления, как правило, может научить ребенка справляться с задачами серьезного уровня, но для этого необходимо, как правило, увеличить время занятий вдвое.

Вы репетитор по математике? Спросите у своего ученика, сколько теорем они доказали в классе? Как часто кто-либо вызывается к доске для ответа по теории? Предположу, что большинство учеников ответят репетитору так: «А мы теорем вообще не доказываем. Мария Ивановна иногда что-то пытается доказывать, но нас не спрашивает».

Геометрия — наиболее требовательная наука к логике ее изложения и причина непонимания методов решения задач кроется от части в непонимании механизмов логических обоснований. Репетитор по математике, находящийся в идеальных условиях работы, должен учить ребенка доказывать все и вся. Под идеальными условиями я понимаю тот режим занятий, при котором репетитор может потратить столько времени, сколько потребуется. Если с самого начала изучения геометрии ученика не приучить критически относиться к применяемым в задачах выводам, то многие маскируемые неверным рисунком факты будут для него представляться абсолютной истиной. Если покажется, что точка касания окружности с боковой стороной равнобедренного треугольника лежит на биссектрисе угла при его основании – значит, так оно и должно быть. И получай ошибку.

Еще одна причина массовой безграмотности по геометрии — отсутствие отдельного полноценного экзамена. Раньше набор выпускных испытаний по курсу неполной средней школы включал в себя обязательный экзамен по геометрии, и такого плачевного состояния со знаниями по предмету не наблюдалось. Преподаватели математики выделяли необходимое время на теорию, теоремы доказывались и регулярно спрашивались. Когда я сам учился в школе, наш математик обязал нас завести отдельную тетрадь для экзаменационных билетов, и каждый урок мы записывали в нее доказательство какого-нибудь геометрического факта. После того, как была закончена последняя страница тетради, преподаватель каждый урок устраивал опрос по теоремам. Он мог вызвать к доске сразу несколько учеников (в классе висело две доски) так, чтобы с нашей помощью повторить как можно больше доказательств за урок.

Я получил бесценный опыт, который сказался не только на понимании планиметрии в отдельности, но и на общем математическом развитии. В последствии устный экзамен помог разобраться со стереометрией и сдать на отлично сложный вступительный экзамен по математике в МПГУ. Где сейчас в самом обычном классе самой обычной рабоче-крестьянской школы встретишь такую работу? Экзамен упразднен, преподаватель по математике занят довольно сомнительным и смешным курсом школьной теории вероятности и под конец учебного года часто использует отведенные часы на геометрию для подготовки к ГИА. А на ГИА по математике присутствует всего лишь одна более — менее серьезная геометрическая задачка, которую можно и пропустить. Все равно при одном нерешенном номере работу оценят на пятерку.

Репетитор по математике обычно пытается что-то выжать из курса геометрии дополнительно, но если ребенок приходит к нему поздно или режим занятий не способствует применению методик репетитора — результат будет практически нулевым. Начинайте готовиться и к ГИА по математике и к ЕГЭ по математике как можно раньше. Некоторые родители обращаются к репетитору уже в 5-6 классе. И это правильно. Материала очень много, а ребенку нужен не только постоянный тотальный контроль со стороны преподавателя, но хорошая практика решения задач по индивидуальной программе. И в первую очередь по геометрии.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике в Москве.
Профессиональный репетитор в Строгино. м.Щукинская.