Подготовка к ЕГЭ по математике. Решение задачи С6 от 6 июня 2011г

by Колпаков А.Н. on 15 июня 2011

Ура, свершилось! 6 июня 2011 года прошел очередной ЕГЭ по математике. Уже третий по счету и второй в новой форме. Сбылись мои прогнозы: номера части «С» оказались более простыми, чем в пробниках, и еще проще тех номеров, которые были рекомендованы репетиторам по математике в различных печатных изданиях. Задача С6 не стала исключением. Однако, поиску ключика к ее решению, как и на С6 в прошлом году, мешала необычная формулировкой самого задания. Она оказалась уникальной не похожей ни на один из представленных образцов задачи С6 от МИОО и ФИПИ.

Задача С6 с ЕГЭ по математике от 6 июня 2011г

На доске написаны числа, количество которых больше чем 56, но меньше чем 72. Среднее арифметическое всех чисел равно – 5, среднее арифметическое положительных равно 8, а средннее арифметическое отрицательных — 16.
1) Сколько всего чисел выписано?
2) Каких чисел больше, отрицательных или положительных ?
3) Какое максимальное число положительных чисел может быть выписано?

Я выбрал для публикации один из номеров, предлагавшихся в Москве. Другие известные мне варианты задачи С6 отличаются от него только числами.

Решение репетитора по математике

Ответим на вопрос №1:
пусть a_1,a_2,...,a_m — положительные числа на доске(их m штук),
b_1,b_2,...,b_n— отрицательные числа (их n штук)
И пусть k- количество нулей.
В соответствии с определением среднего арифметического несколькиъ чисел имеем следующие равенства:

\dfrac{a_1+a_2+...a_m}{m}=8 \Longrightarrow a_1+a_2+...+a_m=8m

\dfrac{b_1+b_2+...b_n}{n}= -16 \Longrightarrow b_1+b_2+...+b_n = -16n

\dfrac{a_1+a_2+...a_m+b_1+b_2+...+b_n+0+0+...+0}{m+n+k}=-5 \Longrightarrow

\Longrightarrow 8m-16n=-5(m+n+k) .

Так правая часть последнего равенства делится на 8, то и левая должна делиться на 8, поэтому на 8 делится сумма m+n+k. Учитывая, что 56 < m+n+k < 72 получаем, что m+n+k=64, то есть выписано 64 числа.

Ответим на вопрос №2:

Раскрывая скобки в равенстве 8m-16n=-5(m+n+k) получаем 13m-11n+5k=0. Если m \geqslant n, то m<n, то есть положительных чисел меньше.

Ответим на главный вопрос №3:

В начале заметим, что при любых натуральных значениях n и m можно найти наборы положительных и отрицательных чисел, обеспечивающих равенства a_1+a_2+...+a_m=8m и b_1+b_2+...+b_n=-16n (для этого достаточно в положительный набор чисел включить m раз число 8, а в орицательный n раз число -16). Поэтому множество натуральных решений системы

Система для задачи С6 на ЕГЭ по математике 2011 год

охватывает все cлучаи написания чисел на доске.

Замечание репетитора по математике:
Нельзя забывать о случае про k=0, ибо никто не запрещает выписывать числа без нулей.

Итак, каждая натуральная тройка чисел (m,n,k) соответствует каким-то случаям записи чисел (один из них мы уже указали: «m раз берем число 8 и n раз число -16»). Поэтому, решив эту систему, мы ответим не только на 3-й вопрос задачи С6 на ЕГЭ, но и найдем
а) минимальное количество положительных чисел
б) минимальное и максимальное количество отрицательных чисел.
Хватит на сразу на два C6 номера :)

Наша цель: выразить переменные m и k через n. Для этого можно подставить число 64 вместо суммы переменных в первое уравнение и получить:
Препобразованная сисетма в задаче С6 на ЕГЭ
Затем сократим первое уравнение на 8 и выразим из него m через n (m=2n-40). Удаляя переменную m подстановкой полученного равенства во второе уравнение, приведем систему к окончательному виду:
Окончательная система для решения задачи С6 на ЕГЭ по математике

Если не учитывать ограничения на переменные, то полученые формулы описывают множество всех решений системы (в том числе отрицательных, дробных и иррациональных), так как для каждого числа n можно вычислить пару (m,k) обеспечивающую вместе с ним верность каждого равенства. Однако, нам интересны только те значения n, при которых эта тройка окажется полностью натуральной.

Диапазон значений переменной n позволит найти диапазон значений переменных m и к и указать таким образом все варианты распределения положительных и отрицательных чисел. Жаль, что на ЕГЭ по математике нельзя получить дополнительные баллы за первыполнение плана по заданию.

Чтобы понять, какие натуральные значения n дают натуральные пары (m,k), изобразим графики линейных функций m=2n-40 и k=104-3n
Решение задачи С6 на ЕГЭ по математике 2011 год

Очевидно, для выполнения условия m \geqslant 1 необходимо выполнение условия n \geqslant 21, а для k \geqslant 0 необходимо n \leqslant 34 (заметим, что случай k=0 невозможен при натуральном значении n). В итоге получаем, что 21 \leqslant n \leqslant 34 . При этом 2 \leqslant m \leqslant 28 .

Ответ: количество положительных чисел находится в пределах от 2 до 28 (включительно), а количество отрицательных в пределах от 21 до 34.

Постараюсь в ближайшее время разобрать на сайте решение остальных задач С1-С5.

С уважением, Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве
Профессиональный репетитор в Строгино. м.Щукинская. Подготовка к ЕГЭ.

Метки: ЕГЭ по математике

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий