Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике от 6 июня 2011г

by Колпаков А.Н. on 16 июня 2011

На недавно прошедшем ЕГЭ по математике задача С2 явилась к нам в образе правильной шестиугольной призмы. Как и ожидалось составители отклонились от наиболее популярного вида многогранника, а именно от куба. К счастью это единственное усложнение, которое было отмечено (куда более сложной могла быть задача, например, на нахожденние расстояния между скрещивающимися прямыми). Репетитор по математике реже сталкивается в своей практике с необходимостью рассматривать шестиугольник в основании призмы. Ученик больше решает задач на пирамиды или на прямоугольные параллелепипеды.

Задача С2 на ЕГЭ по математике

Условие задачи С2 на ЕГЭ по математике. 6 июня 2011гВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 стороны основания равна 4 см, а высота равна 3см. Найдите расстояние от вершины B до ребра F_1A_1.

Решение репетитора по математике

Я решил показать два способа решения номера C2 . Для эффектности можно было бы показать и третий (через метод координат), но шестиугольная призма неудобный многогранник для введения осей и вычисления содержали бы иррациональности на всех его этапах. Кроме этого пришлось бы применять готовые формулы для расстояния от точки до прямой (которых нет в школе) или пользоваться векторным произведением векторов (которого также нет в школе).

Способ №1:
Самый быстрый путь — построить отрезок, отвечающий за расстояние. Напомним, что растоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного к этой прямой.Построение перпендикуляра в задаче С2 на ЕГЭ по математике. Этап 1Для его аккуратного построения в задача С2 проведем в плоскости основания призмы перепендикуляр BM из точки B к стороне АF (он показан на рисунке). В силу того, что в правильном шестиугольнике все углы равны 120^\circ отрезок BM — внешний отрезок для шестиугольника ABCDEF.

Затем в плоскости боковой грани AFF_1A_1 проведем перпендикуляр MM_1 к ребру AF. Построение перпендикуляра в задаче С2 на ЕГЭ по математике. Этап 2 Он также будет перпендикулярен и ребру A_1F_1. Плоскость треугольника (BMM_1) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости будет перпендикулярна ребру AF, а следовательно и ребру A_1F_1. Построение перпендикуляра в задаче С2 на ЕГЭ по математике. Этап 3



Так как BM_1 лежит в плоскости (BMM_1), то A_1F_1 \bot BM_1. В завершение теоретического обоснования дальнейших действий отметим, что треугольник BMM_1 прямоугольный с прямым углом \angle M так как : MM_1 \parallel AA_1, AA_1 \bot (ABCDEF) \Longrightarrow
\Longrightarrow MM_1 \bot (ABCDEF) \Longrightarrow
\Longrightarrow MM_1 \bot BM .



Поскольку искомый отрезок BM_1 — его гипотенуза, осталось найти катеты и применить теорему Пифагора.Поиск перпендикуляра в основании призмы. Задача С2 на ЕГЭ по математике Расмотрим основание призмы и отрезок BM. Для его нахождения воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике \triangle ABM . По свойству правильного шестиугольника \angle BAF=120^\circ.



Следовательно \angle BAM=60^\circ \Longrightarrow BM=AB\cdot Sin 60^\circ = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}
По теореме Пифагора в треугольнике \triangle ABM получаем: BN=\sqrt{BM^2+MM_1^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{21}

Способ №2: задачу можно решить не прибегая к дополнительным построениям. Для этого достаточно найти все стороны треугольника BF_1A_1 и применить известный алгоритм нахождения его высоты BM_1. Найти диагональ BA1 прямоугольника BB_1A_1A можно по теоерме Пифагора. Очевидно она равна 5. Для нахождения BF_1 можно найти вычислить BF (по теореме косинусов в \triangle BFA), а затем применить теорему Пифагора к треугольнику BFF_1. Получим BF_1=\sqrt{57}.Альтернативное решение репетитора по математике. Поиск высоты трегольника Затем в тупоугольном треугольнике BF_1A_1 (проверьте что \angle A_1 — тупой самостоятельно) найдем высоту BM_1. Если бы не иррациональность стороны BF_1, то удобнее было бы применить формулу Герона. В нашем случае лучше всего составить и решить уравнение: пусть A_1M_1=x. Тогда F_1M_1=x+4. Приравнивая выражения, отвечающие за квадрат отрезка BM_1 в треугольниках BM_1A_1 и BM_1F_1 друг к другу получим 25-x^2=57-(x+4)^2 из которого x=2. Тогда в \triangle BM_1A_1 окончательно BM_1=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}.

С уважением, Колпаков Александр Николаевич
Репетитор по математике в Москве
Подготовка к ЕГЭ по математике

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий