Планиметрия на прошедшем ЕГЭ по математике была представлена задачей на вписанную в четырехугольник окружность. Во все времена комбинация фигур являлась популярной темой у составителей экзаменационных вариантов, так как предоставляла возможность проверить целый спектр знаний на базе одной номера. Именно такой меркой выступила задача С4 на ЕГЭ в 2011 году. Окружность — уникальное связующее звено для элементов многоугольников. Уделяя ей достаточное время при подготовке к ЕГЭ, репетитор по математике значительно повышает шансы ученика получить за C4 максимальный балл. Как было в этом году? Публикую свое решение с подробными комментариями и советами.
Задача С4 на ЕГЭ по математике в 2011году
Прямая, перпендикулярная к боковой стороне равнобедренного треугольника отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если длина отрезка прямой, заключенного между сторонами треугольника, равна 24, а синус угла при основании равен 
.
Решение репетитора по математике
Для начала необходимо учесть все варианты условия и обратить внимание на то, что прямая, о которой идет речь может пересечь боковую сторону треугольника, а может перечь и основание.
Такое раздвоение – настоящая ловушка для абитуриента, ибо в школьников практически не учат исследовать возможные варианты в условиях задач. Репетитор по математике вынужден компенсировать этот недостаток на своих занятиях.
Итак, рассмотрим первый случай, когда прямая пересекает боковую сторону. Решение задачи С2 во втором случае опишем чуть менее подробно.
Заметим, что окружность, касающаяся сторон четырехугольника АРКС, также касается и трех сторон треугольника АВС и поэтому вписана в него. Как известно равнобедренный треугольник однозначно определяется двумя независимыми друг от друга элементами. Один из них — угол при основании (а именно его синус), а в качестве второго дана длина отрезка РК. К каждой вписанной в треугольник окружности можно провести касательную, перпендикулярную боковой стороне. Это проиллюстрировано на рисунке.
Можно провести перпендикулярную прямую m к боковой стороне и, сдвигая ее параллельно в направлении основания, найти такое положение, при котором она каснется нашей окружности. Только отрезок касательной, зажатый между сторонами этого треугольника, может быть разным. Поскольку он дан по условию, то это вместе с синусом угла является уникальной о треугольнике АВС, полностью его определяющей. Поэтому можно рассчитывать на нахождение его всех элементов. Найдем все стороны, а затем стандартным образом (через формулу площади 
) найдем радиус вписанной окружности в наш треугольник.
Найдем стороны BKP. Для этого нам потребуется синус угла B, который равен 
.Для дальнейших вычислений нам понадобится CosC. По основному тригонометрическому тождеству 
Так как 
, то 
По теореме Пифагора в треугольнике BKP находим катет BK:
.
Теперь выразим стороны четырехугольника APKС. Пусть АВ=СВ=Х. Тогда 
. Поскольку 
, то тогда 
. Поэтому все стороны описанного четырехугольника APKC становятся выраженными через X. Применяя свойство описанного четырехугольника
получим уравнение 
, из которого легко найти, что 
и следовательно 
.
Находим полупериметр треугольника АВС:
Находим площадь треугольника ABC:
Подставляя полученные результаты в формулу площади треугольника 
получим 
, откуда 
.
Решение во втором случае аналогично первому случаю и я опубликую его в ближайшее время.
Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве.
Подготовка к ЕГЭ по математике в Строгино, м.Щукинская.
{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }
Спасибо Вам! Все подробно изложено, а главное доступно для понимания! Уважаю такие решения!