Подготовка к ЕГЭ по математике. Решение задачи С4 на ЕГЭ от 6 июня 2011года

by Колпаков А.Н. on 17 июня 2011

Планиметрия на прошедшем ЕГЭ по математике была представлена задачей на вписанную в четырехугольник окружность. Во все времена комбинация фигур являлась популярной темой у составителей экзаменационных вариантов, так как предоставляла возможность проверить целый спектр знаний на базе одной номера. Именно такой меркой выступила задача С4 на ЕГЭ в 2011 году. Окружность — уникальное связующее звено для элементов многоугольников. Уделяя ей достаточное время при подготовке к ЕГЭ, репетитор по математике значительно повышает шансы ученика получить за C4 максимальный балл. Как было в этом году? Публикую свое решение с подробными комментариями и советами.

Задача С4 на ЕГЭ по математике в 2011году

Прямая, перпендикулярная к боковой стороне равнобедренного треугольника отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если длина отрезка прямой, заключенного между сторонами треугольника, равна 24, а синус угла при основании равен \frac{4}{5}.

Решение репетитора по математике

Для начала необходимо учесть все варианты условия и обратить внимание на то, что прямая, о которой идет речь может пересечь боковую сторону треугольника, а может перечь и основание.Здача С2 на ЕГЭ по математике. Два случая. Такое раздвоение – настоящая ловушка для абитуриента, ибо в школьников практически не учат исследовать возможные варианты в условиях задач. Репетитор по математике вынужден компенсировать этот недостаток на своих занятиях.

Итак, рассмотрим первый случай, когда прямая пересекает боковую сторону. Решение задачи С2 во втором случае опишем чуть менее подробно.Задача С2 на ЕГЭ по математике. Первый случай

Заметим, что окружность, касающаяся сторон четырехугольника АРКС, также касается и трех сторон треугольника АВС и поэтому вписана в него. Как известно равнобедренный треугольник однозначно определяется двумя независимыми друг от друга элементами. Один из них — угол при основании (а именно его синус), а в качестве второго дана длина отрезка РК. К каждой вписанной в треугольник окружности можно провести касательную, перпендикулярную боковой стороне. Это проиллюстрировано на рисунке.Работа репетитора по математике с условием задачи С2Можно провести перпендикулярную прямую m к боковой стороне и, сдвигая ее параллельно в направлении основания, найти такое положение, при котором она каснется нашей окружности. Только отрезок касательной, зажатый между сторонами этого треугольника, может быть разным. Поскольку он дан по условию, то это вместе с синусом угла является уникальной о треугольнике АВС, полностью его определяющей. Поэтому можно рассчитывать на нахождение его всех элементов. Найдем все стороны, а затем стандартным образом (через формулу площади S=p \cdot r) найдем радиус вписанной окружности в наш треугольник.

Поиск элементов треугольника BKPНайдем стороны BKP. Для этого нам потребуется синус угла B, который равен SinB=Sin(180^\circ-2\cdot C)=
=Sin(2C)=2 SinC CosC.Для дальнейших вычислений нам понадобится CosC. По основному тригонометрическому тождеству CosC=\sqrt{1-Sin^2C}=1-\frac{4}{5}=\frac{3}{5}



Так как SinB=\dfrac{PK}{PB}, то \dfrac{24}{25}=\dfrac{24}{PB} \Longrightarrow PB=25
По теореме Пифагора в треугольнике BKP находим катет BK:
BK=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{(25-24)(25+24)}=7.

Выражение сторон четырехугольника APKCТеперь выразим стороны четырехугольника APKС. Пусть АВ=СВ=Х. Тогда AP=x-25,CK=x-7. Поскольку CosC=\frac{3}{5}, то тогда CH=AH=BC \cdot CosC=\frac{3}{5}\cdot x. Поэтому все стороны описанного четырехугольника APKC становятся выраженными через X. Применяя свойство описанного четырехугольникаAP+KC=AC+PK получим уравнение 24+\frac{6}{5}\cdot x=x-25+x-7, из которого легко найти, что x=70 и следовательно AC=\frac{6}{5} \cdot 70 = 84.

Находим полупериметр треугольника АВС:

p=\dfrac{70+70+84}{2}=112
Находим площадь треугольника ABC:

S_ABC=\dfrac{1}{2}\cdot AC \cdot BC \cdot SinC=\dfrac{1}{2}\cdot 84 \cdot 70 \cdot \frac{4}{5}=84\cdot 28
Подставляя полученные результаты в формулу площади треугольника S_ABC=p \cdot r получим 84 \cdot 28 = (70+42)\cdot r, откуда r=21.

Решение во втором случае аналогично первому случаю и я опубликую его в ближайшее время.

Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве.
Подготовка к ЕГЭ по математике в Строгино, м.Щукинская.

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

ольга мая 10, 2012 в 20:47

Спасибо Вам! Все подробно изложено, а главное доступно для понимания! Уважаю такие решения!

Оставьте комментарий