Подготовка к ЕГЭ по математике. Задача С3 с ЕГЭ в 2011г

by Колпаков А.Н. on 25 июня 2011

Задача С2 на ЕГЭ по математике в этом году, как и в прошлом, проверяла логарифмические знания и навыки проведения равносильных преобразований систем неравенств. На С2 споткнулось более 50% ориентированных на группу «С» школьников. Простота задания снижала бдительность и школьники натыкались на подводные камни, связанные с ОДЗ, или проваливались на решениии неравенств с высокими степенями. Замечу, что работать с ОДЗ чаще всего учит абитуриента именно репетитор по математике, ибо в школа должного внимания этому не уделяет.

Содержание страницы рассчитано не только на учеников, но и на преподавателей и репетиторов по математике. Даны методические комментарии к этапам и способам решения. Итак, рассмотрим саму задачу.

Решить неравенство:
Задача С2 на ЕГЭ по математике 2011г _1

Сразу отметим, что квадратный трехчлен, расположенный под знаком левого логарифма раскладывается на множители x^2+11x+18=(x+9)(x+2). Если репетитор по математике работает с учеником, не располагающим гибким мышлением и способностями оперировать сразу несколькими правилами равносильных переход (проще говоря – не способный запомнить более одной схемы решения), то лучше всего не применять формулы к логарифмам с двумя буквенными выражениям под их знаками (как хотелось бы для сокращения скобок). Иначе придется иметь дело с изменением ОДЗ, что увеличит репетитору количество ошибок его учеников на экзамене.

Решим неравенство в обход расширению ОДЗ:

Разложим квадратный трехчлен и «поднимем» пятую степень под знак логарифма, а 6 представим в виде логарифма:


Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике в 2011 году_1
Так как при соединении двух логарифмов, у одного из которых под знаком стоит число (11^6) ОДЗ не меняется, то получим равносильное неравенство:


Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике в 2011 году_2
Ученик получает простейшее логарифмическое неравенство с большим единицы основанием и применяет к нему стандартный переход к равносильной системе:


Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике в 2011 году_система
Далее задание переходит из опасной логарифмической «зоны» в привычную алгебраическую. Для решения первого неравенства останется перенести дробное слагаемое из правой части в левую и применить к неравенству метод интервалов для дробей. Для этого удобно вынести за скобку (x+9)^5:


Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике в 2011 году_3
И привести внутри скобок дроби к общему знаменателю:


Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике в 2011 году_4
Единственная сложность может возникнуть у среднего и слабого ученика при разложении на множители разности шестых степеней. Если репетитор по математике проводил с учеником соответствующую подготовительную работу, то применить к шестым степеням формулу «разность квадратов» труда не составит:


Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике в 2011 году_5
При обучении работе с формулами сокращенного умножения неплохо было бы остановиться на том, что неполный квадрат разности или суммы a^2 \pm ab+b^2 при любых значениях переменной принимает неотрицательные значения и равен нулю только при одновременном равенстве нулю обоих переменных. Поэтому при разложении множителей из числителя эти неполные квадраты можно сократить, и мы получим самое простейшее алгебраическое неравенство:


Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике в 2011 году_6


И в итоге:
Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике в 2011 году_7
Практически каждому репетитору удается найчить школьника решать такие неравенства методом интервалов:


Решение задачи С2 на ЕГЭ по математике в 2011 году. Промежутки_1

Решим второе неравенство системы (оно представляет собой ни что иное, как ОДЗ задачи С2: x \in [-13;-9) \cup (-2;9]

Коротко опишем другой путь: учитывая ОДЗ: (x+9)^5 получим равносильную систему:

Альтернативное решение задачи С2 с ЕГЭ по математике_1
Поскольку после этих преобразований ОДЗ не сузилось, а расширилось, то на множестве x+2=0). Тогда снова получим равносильную систему:


Альтернативное решение задачи С2 с ЕГЭ по математике_2
Используем тождество (x)^2=|x|^2:


Альтернативное решение задачи С2 с ЕГЭ по математике_3
Четные степени с неотрицательных выражений можно снять и перейти к системе с несложным неравенством с модулем:


Альтернативное решение задачи С2 с ЕГЭ по математике. Финальная часть.
Изображая решение системы получаем тот же ответ, что и в при первом способе:


Ответ задачи С2 с ЕГЭ по математике в 2011г

Ответ: x \in [-13;-9) \cup (-2;9]

Есть еще весьма опасный третий способ: заняться раскалыванием логарифмов ради сокращения тех из них, которые будут содержать скобку x+5. В этом случае ОДЗ неравенства сузится!!! Если у ученика возникает стойкое желание пойти по такому пути, то это допустимо тольео если репетитор по математике отработал с ним методику решения неравнства на множестве. Или необходимо повесить модули на подлогарифмические выражения подмешивая к новому неравнетву ОДЗ.

Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве. Подготовка к ЕГЭ в Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий