Решение задачи С5 с ЕГЭ по математике 2011г

by Колпаков А.Н. on 4 июля 2011

К удивлению многих репетиторов задача С5 на прошедшем экзамене оказалась довольно несложной. По крайней мере, по сравнению с пробными вариантами ЕГЭ. Знания методов построения линий с модулями и некоторое чувство рисунка давали ученику хорошие шансы получит за нее максимальные 4 балла. Я разберу решение поэтапно и расскажу, как репетитор по математике может упростить ученику работу на последней его стадии.

Задача С5:
Найдите все значения параметра, при которых система имеет единственное решение:
ЕГЭ по математике 2011, задача C5

Решим задачу графически:
Замечание репетитора по математике: в практике вступительных и иных экзаменов и олимпиад на долю графического решения задач с параметрами приходится около 70% всех решений. Графика используется в них либо тотально, либо в совокупности с алгебраическими выкладками.

Каждое уравнение системы задает на координатной плоскости некоторую линию. Так как параметр присутствует в системе одном единственном экземпляре, то это означает, что одна из линий остается фиксированной независимо от параметра, а другая меняется в зависимости от него. Искомый параметр – это то значение числа a, при котором две линии пересекаются в одной точке. Сразу отметим, что задачу достаточно решить для положительных значений параметра и добавить к нему еще и противоположные числа.

Несложно построить фигуру (|x|-5)^2+(y-3)^2=9 – она представляет собой пару окружностей радиуса 3. Подробное описание этого построения можно посмотреть здесь. Графиком второго уравнения будет окружность с меняющимся радиусом «a», при увеличении которого она увеличивается в размере.

Важно представить себе картинку в движении. Я постарался изобразить этот процесс на рисунке, указывая изменение размера окружности (x-1)^2+y^2=a^2 в направлении зеленой стрелки.
Анализ задачи С5 с ЕГЭ по математике

Сами окружности отмечены зелеными номерами в порядке роста радиуса. Видно, что при его малых значениях (n=1) общих точек с фигурой math] (|x|-5)^2+(y-3)^2=9[/math] нет. В положении n=2 происходит касание правой окружности, но еще нет общих точек с левой. Попытайтесь продолжить этот анализ. Сложно? Именно здесь на помощь ученику приходит репетитор математики. От того, какая будет предложена репетитором для удобства исследования и анализа информации, будет зависеть насколько путанными окажутся словесные объяснения.

Конечно, преподаватель может сказать: «очевидно, что подходят окружности под номерами 2 и 5 (они выделены красным цветом), но кому очевидно, а кому и нет. Репетитор, как мне кажется, должен научить ребенка действовать не только в какой-то одной ситуации (когда очевидно), а предложить способ, позволяющий решить вопрос независимо от его геометрической наглядности. Таким способом будет отдельное исследование количества точек пересечения с каждой окружностью.

Снимем с рисунка левую окружность и найдем «a», при которых (x-1)^2+y^2=a^2 имеет с правой 1 и 2 точки пересечения.

Работа репетитора с первой окружностью Касание внешним образом происходит, когда расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, то есть a+3=AB. Отрезок AB=5 легко найти из прямоугольного треугольника ABC. Тогда a=AK=5-3=2. Касание внутренним образом (с окружность №4) возможно, когда расстояние между центами AB равно разности радиусов. Отсюда a=AB+BD=8.

Если 2 < a < 8, то окружности будут иметь две точки пересечения, а если параметр не попадает в отрезок [a;b], то пересечений нет. Это полное, аккуратное и точное исследование репетитором ситуации с правой окружностью.

Аналогично можно разобраться и с левой. Рассуждая также, получим:
при a=3 \sqrt{5} \pm 3 – касание,
при a \in (3 \sqrt{5}-3; 3 \sqrt{5}+3) – 2 точки
при a \in (3 \sqrt{5}-3; 3 \sqrt{5}+3) – нет точек.

Я думаю, что репетитору по математике лучше показать финальный расклад с радиусами по аналогии с объединением промежутков. Действительно, для каждого параметра нужно суммировать (объединять) количество точек. Хорошая иллюстрация всегда лучше даже самых точных слов. Процесс показан на рисунке:
Методика репетитора. Поиск ответа

Понятно, что все параметры, попадающие под линии дают как минимум 2 общие. Репетитору осталось подсказать, что единственность достигается на концах отрезка [2;3 \sqrt{5}+3].

Для финального ответа важно не забыть указать еще и отрицательные значения параметра.

Ответ: a_1= \pm 2; a_2= \pm (\sqrt{5}+3)

Колпаков Александр, репетитор по математике.

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Александр Борисович декабря 27, 2012 в 18:41

Очень правильные мысли

Оставьте комментарий