Геометрия в движении

by Колпаков А.Н. on 6 июля 2011

Что такое геометрия и планиметрия? Некие модели реальности, отражающие то, что человек видит глазами. Математические факты и результаты вычислений закрепляют в наглядные представления о тех или иных фигурах и телах. Языком логики и чисел они переносятся в особый мир, о точности которого человек отдельно позаботился. Но если результаты можно сопоставлять с наглядными представлениями об изучаемых объектах, то почему бы репетитору по математике не использовать эту наглядность?

Мы живем в постоянном движении, вокруг все время что- то меняется, что-то поворачивается, растягивается или сдвигается. При этом изменение одной величины влечет за собой изменение другой. То же самое происходит и в планиметрии. Только мы этого не замечаем, так как нам не видна «виртуальная работа» функций, чисел и формул. Например, изменяя угол, мы увеличиваем не только противолежащую сторону в треугольнике, но и его площадь, периметр, другие угла и т.д. И каждая новая картинка имеет свои числовые измерения. Репетитор математики мог бы и это использовать.

Форма и размеры объектов чертежа полностью определяются условием задачи. Проблема в том, что рисовать приходится приблизительно. Вымерять по линейке — бесполезно. Именно с этой неточности репетитор по математике получает наибольшее количество ошибок учеников. Они порождаются маскировкой фактов и свойств. Например, может показаться, что 3 точки лежат на одной прямой, что угол острый (когда на самом деле он тупой), ученик будет использовать равенство углов, которое возможно только при определенных соотношениях между длинами сторон треугольников и т.д. Кто-то из великих математиков сказал: «геометрия – это искусство верных рассуждений на неверном чертеже ». Очень точно подмечено.

Какие факты маскируются? Например, в треугольнике общего вида точка касания вписанной окружности попадаетПроблемный рисунокна одну прямую с ее центром и противолежащей вершиной (смотри рисунок). На рисунке биссектриса, высота и медиана сливаются в общую линию. И чем ближе треугольник к равностороннему, тем более точным кажется это слияние. Как репетитору по математике убедить ребенка в ошибке?Как репетитор по математике советует изменить рисунокЯ учу школьников менять форму фигуры, забывая о числовых данных, но сохраняя класс фигур, к которому она принадлежит. Исследуется картинка в движении при разных значениях сторон треугольника. Можно и равнобедренный, но обязательно узкий, например, сильно вытянутый вверх. После вписывания окружности (допускается построение от руки) станет заметно, что ни медиана, ни биссектриса, ни высота не приходят в точку касания N. Они разойдутся в разные стороны. Тот же прием репетитор может использовать в работе со слабым учеником по теме «медиана в равнобедренном треугольнике» (7 класс).

Часто в планиметрических задачах (с того же ЕГЭ по математике) абитуриенты теряются и не знает на какой «дороге» искать алгоритм решения. Или выделяет какой-нибудь вспомогательный элемент фигуры и пытается его найти, не догадываясь, что этого сделать нельзя. Не хватает данных. Математики называют такой элемент и сам рисунок задачи «плавающими».

Как репетитору определять «водяных»? Я называю этот прием так: «геометрия в движении». Репетитор предлагает сделать несколько новых рисунков, на которых исковый параметр принимает разные значения: удлинить, укоротить, повернуть. Если можно так исказить чертеж, чтобы искомый элемент изменился, а условие сохранилось, значит этот элемент найти нельзя никак! Допустим, что перед нами равнобедренная трапеция с основаниями 4сми 9см и углом при основании 60^\circ. Плавающая трапецияТребуется найти ее площадь. Что замечает репетитор? Если мы будем двигать вернее основание в «скользящем режиме» вдоль боковой стороны (параллельно нижнему основанию), то каждый раз будет получаться новая трапеция, отвечающая тому же условию, но имеющей другую высоту.Анализ плавучести трапеции. Методика репетитора Тогда она не находится и поиск площади бесполезная трата времени. Трапеция плавает «плавает». Придется выявлять дополнительные факты (числовые или логические), которые бы ограничили бы рост высоты. Например, существование вписанной окружности или радиус описанной.

Геометрия в движении помогает запоминать и проверять простые факты. Например, в 8 классе дети часто путают свойства диагоналей ромба и параллелограмма.Неудачный рисунок параллелограмма У слабого ученика они биссектрисы сразу в двух фигурах. Чем ему поможет репетитор по математике? Стоит растянуть параллелограмм в длину и ребенку сразу броситься в глаза, что один из образованных диагональю углов узкий и маленький, а другой явно больше и близок к полному углу.Репетитор по математкие решает проблему рисунка Преподавателю важно сформировать у ученика привычку обращаться к практической проверке: «при любых сомнениях меняй форму объекта». Главное оставаться в рамках условия задачи. Изменение фигуры средствами представления ее элементов в движении дает возможностьрепетитору сформировать у ученика понимание и запоминание свойств целого класса объектов. Ребенок лучше запомнит параметры изменений и ситуации в которых они происходят.

Это простые примеры. Теперь чуть сложнее:

Задача на трапециюНайдите среднюю линию равнобедренной трапеции с диагональю 4 см и углом между диагоналями, равным 60^\circ. На вопрос репетитора «как вычисляется средняя линия и что для ее нахождения нам потребуется знать?» дети обычно отвечают так: «надо искать основания». В этом ответе заключена типичная проблема невозможности нахождения отдельных элементов чертежа. Почему? Будем параллельно сдвигать одну из диагоналей трапеции так, как это показано на рисунке:
Как репетитор математики анализирует условие
Фигура остается равнобедренной трапецией (это следует из равенства ее новых диагоналей), угол между диагоналями не меняется, однако нижнее основание увеличивается, а верхнее уменьшилось. То есть среди трапеций, удовлетворяющих требованиям условия, есть трапеции с разными основаниями. Это позволяет сделать вывод о том, что по отдельности они не находятся.

Я специально выбрал простые примеры для демонстрации метода, однако он работает и в сложных вариантах (и не только на плоскости). Просто более хитрые зависимости труднее описывать на страницах сайта. Лучше приходите на занятия.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва.
Занятия с отстающими в Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий