Что такое геометрия и планиметрия? Некие модели реальности, отражающие то, что человек видит глазами. Математические факты и результаты вычислений закрепляют в наглядные представления о тех или иных фигурах и телах. Языком логики и чисел они переносятся в особый мир, о точности которого человек отдельно позаботился. Но если результаты можно сопоставлять с наглядными представлениями об изучаемых объектах, то почему бы репетитору по математике не использовать эту наглядность?
Мы живем в постоянном движении, вокруг все время что- то меняется, что-то поворачивается, растягивается или сдвигается. При этом изменение одной величины влечет за собой изменение другой. То же самое происходит и в планиметрии. Только мы этого не замечаем, так как нам не видна «виртуальная работа» функций, чисел и формул. Например, изменяя угол, мы увеличиваем не только противолежащую сторону в треугольнике, но и его площадь, периметр, другие угла и т.д. И каждая новая картинка имеет свои числовые измерения. Репетитор математики мог бы и это использовать.
Форма и размеры объектов чертежа полностью определяются условием задачи. Проблема в том, что рисовать приходится приблизительно. Вымерять по линейке — бесполезно. Именно с этой неточности репетитор по математике получает наибольшее количество ошибок учеников. Они порождаются маскировкой фактов и свойств. Например, может показаться, что 3 точки лежат на одной прямой, что угол острый (когда на самом деле он тупой), ученик будет использовать равенство углов, которое возможно только при определенных соотношениях между длинами сторон треугольников и т.д. Кто-то из великих математиков сказал: «геометрия – это искусство верных рассуждений на неверном чертеже ». Очень точно подмечено.
Какие факты маскируются? Например, в треугольнике общего вида точка касания вписанной окружности попадает
на одну прямую с ее центром и противолежащей вершиной (смотри рисунок). На рисунке биссектриса, высота и медиана сливаются в общую линию. И чем ближе треугольник к равностороннему, тем более точным кажется это слияние. Как репетитору по математике убедить ребенка в ошибке?
Я учу школьников менять форму фигуры, забывая о числовых данных, но сохраняя класс фигур, к которому она принадлежит. Исследуется картинка в движении при разных значениях сторон треугольника. Можно и равнобедренный, но обязательно узкий, например, сильно вытянутый вверх. После вписывания окружности (допускается построение от руки) станет заметно, что ни медиана, ни биссектриса, ни высота не приходят в точку касания N. Они разойдутся в разные стороны. Тот же прием репетитор может использовать в работе со слабым учеником по теме «медиана в равнобедренном треугольнике» (7 класс).
Часто в планиметрических задачах (с того же ЕГЭ по математике) абитуриенты теряются и не знает на какой «дороге» искать алгоритм решения. Или выделяет какой-нибудь вспомогательный элемент фигуры и пытается его найти, не догадываясь, что этого сделать нельзя. Не хватает данных. Математики называют такой элемент и сам рисунок задачи «плавающими».
Как репетитору определять «водяных»? Я называю этот прием так: «геометрия в движении». Репетитор предлагает сделать несколько новых рисунков, на которых исковый параметр принимает разные значения: удлинить, укоротить, повернуть. Если можно так исказить чертеж, чтобы искомый элемент изменился, а условие сохранилось, значит этот элемент найти нельзя никак! Допустим, что перед нами равнобедренная трапеция с основаниями 4сми 9см и углом при основании 
. 
Требуется найти ее площадь. Что замечает репетитор? Если мы будем двигать вернее основание в «скользящем режиме» вдоль боковой стороны (параллельно нижнему основанию), то каждый раз будет получаться новая трапеция, отвечающая тому же условию, но имеющей другую высоту.
Тогда она не находится и поиск площади бесполезная трата времени. Трапеция плавает «плавает». Придется выявлять дополнительные факты (числовые или логические), которые бы ограничили бы рост высоты. Например, существование вписанной окружности или радиус описанной.
Геометрия в движении помогает запоминать и проверять простые факты. Например, в 8 классе дети часто путают свойства диагоналей ромба и параллелограмма.
У слабого ученика они биссектрисы сразу в двух фигурах. Чем ему поможет репетитор по математике? Стоит растянуть параллелограмм в длину и ребенку сразу броситься в глаза, что один из образованных диагональю углов узкий и маленький, а другой явно больше и близок к полному углу.
Преподавателю важно сформировать у ученика привычку обращаться к практической проверке: «при любых сомнениях меняй форму объекта». Главное оставаться в рамках условия задачи. Изменение фигуры средствами представления ее элементов в движении дает возможностьрепетитору сформировать у ученика понимание и запоминание свойств целого класса объектов. Ребенок лучше запомнит параметры изменений и ситуации в которых они происходят.
Это простые примеры. Теперь чуть сложнее:
Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции с диагональю 4 см и углом между диагоналями, равным . На вопрос репетитора «как вычисляется средняя линия и что для ее нахождения нам потребуется знать?» дети обычно отвечают так: «надо искать основания». В этом ответе заключена типичная проблема невозможности нахождения отдельных элементов чертежа. Почему? Будем параллельно сдвигать одну из диагоналей трапеции так, как это показано на рисунке:
Фигура остается равнобедренной трапецией (это следует из равенства ее новых диагоналей), угол между диагоналями не меняется, однако нижнее основание увеличивается, а верхнее уменьшилось. То есть среди трапеций, удовлетворяющих требованиям условия, есть трапеции с разными основаниями. Это позволяет сделать вывод о том, что по отдельности они не находятся.
Я специально выбрал простые примеры для демонстрации метода, однако он работает и в сложных вариантах (и не только на плоскости). Просто более хитрые зависимости труднее описывать на страницах сайта. Лучше приходите на занятия.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва.
Занятия с отстающими в Строгино.
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }