Наверняка вам приходилось много раз изображать конус. Нарисуйте его еще раз. С большой степенью вероятности могу предположить, что картинка окажется неправильной.
«А где здесь ошибка?» — спрашивают обычно школьники. «Эллипс, точка и две образующие. Как и в учебниках». Однако, не все так просто. Если ваш репетитор по математике знаком с методом изображений, то он вам скажет, что все без исключения рисунки в этих самых учебниках как раз то и неправильные. Когда рассказываешь об этом ученикам, интересно наблюдать за их реакцией. Сказанное репетитором по математике вызывает сначала легкое недоумение, удивление и даже недоверие, а затем естественное желание блеснуть знаниями перед своими сверстниками и удивить школьного преподавателя.
Где возникает ошибка? Давайте разберемся.
То, что мы рисуем в тетради – это проекции элементов конуса на выбранную плоскость, которую представляют расположенной в непосредственной близости от глаз. Фактически проецирование идет «в наши глаза».
Вообразите себе прозрачный конус, в котором выделена линия основания и перпендикулярная к нему плоскость ABC осевого сечения. Если мы посмотрим на этот конус сбоку, то не увидим окружности в основании (это показано на рисунке слева). Вместо нее взору представится отрезок AС — основание равнобедренного треугольника в осевом сечении. Если взять непрозрачный конус, то мы увидим только половину его поверхности– ту часть, которая расположена перед плоскостью ABC.
Для того, чтобы открылась окружность основания (изображаемая в виде эллипса), необходимо немного повернуть ее плоскость по отношению к глазам. При маленьком угле мы увидим только ближнюю дугу основания, а дальняя будет закрыта треугольником ABC.
Продолжая вращать конус, мы заставим вершину конуса (точку В) приближаться к глазам, треугольник ABC будет сужаться, постепенно открывая для просмотра заднюю, скрытую ранее часть поверхности конуса. Если угол поворота окажется равным 
, то получится противоположный эффект нулевому углу: основание увидим в форме окружности, а осевое сечение сольется в отрезок AC.
В идеале нужно остановиться где-то между этими положениями. Тогда мы получим картинку, на которой часть дальней дуги AC будет закрыта треугольником ABC, а ее кусочки (около точек А и C) будут видны. Чем ближе угол поворота к нулю, тем эти кусочки менее заметны. 
Обратите внимание, на рисунке справа красной стрелкой показано место, где возникает ошибка. Даже при очень узком эллипсе в изображении основания можно увеличить рисунок в масштабе так, что кусочки дуги будут хорошо заметны. 
Это показывает красная стрелка на рисунке слева.
В этом состоит главная ошибка изобюражений конуса во всех без исключения школьных учебниках математики (и не только школьных): основание показано в виде эллипса (угол наклона достаточно приличный), а на выпирающие кусочки линии основания нет даже намека. Создается впечатление, что образующие AB и CB касаются эллипса. Однако это не так. Вот правильный рисунок:
Как репетитор по математике должен изображать конус?
Именно так, как это сделано в учебниках. И в методических и в математических целях правильный рисунок неудобен для практической работы. Почему?
1) Дальная дуга AC не пересекается с образующей в реальности, чего не скажешь об их проекциях. Мнимая точка пересечения на рисунке только помешает ученику рассматривать на чертеже какие-то более важные его элементы.
2) Реальные точки, попадающие в мнимое пересечение ни в каких задачах не участвуют. Их нет ни в условиях, ни в вопросах.
3) Если речь идет о преподаваниии в школе, то ученик с последней парты эти маленькие части дуги просто не увидит.
Замечание: есть хороший способ проверить уровень профессиональной подготовки репетитора математики: дать ему задание нарисовать конус в проекции по всем канонам и правилам. Если увидите знакомую картину – можно делать соответствующие выводы. Конечно, на занятиях со школьниками репетитор обязан «ошибаться», но это не освобождает его от знаний правил метода изображений.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор математики, Москва.
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }