Репетитор по математике о работе с тригонометрическим кругом

by Колпаков А.Н. on 11 августа 2011

Задачи по тригонометрии являются неотъемлемой частью любого серьезного экзамена. Редкая подготовка к ЕГЭ по математике обходится без внимания репетитора к этому объемному и сложному разделу. С ним связано наибольшее количество ошибок провалов на ЕГЭ у слабых абитуриентов. Рассмотрим методические особенности изучения тригонометрии и частные приемы, которыми обычно пользуется репетитор по математике. Я собираюсь сделать несколько страничек по этой тематике. В начале поговорим о введении тригонометрического круга.

К сожалению, стандарты ГИА по математике заставили пересмотреть школьные программы, в которые в этом году были внесены существенные изменения. Традиционно изучаемую в 9 классе тригонометрию заменили на статистику и теорию вероятностей. Репетитору математике это только усложнило работу. Конечно, и раньше аттестационный экзамен по алгебре не затрагивал синусы и косинусы, но по крайней мере введение в тригонометрию изучалось. Теперь все изменилось на корню и «старт» приходится брать в 10 классе. Для репетитора это означает совмещение двухгодичной подготовки к ЕГЭ с обучением работе на тригонометрическом круге с нуля. Но делать нечего, приходится адаптироваться к новым стандартам и учебникам. Итак, какие методические приемы предлагает репетитор по математике школьнику в этой теме? Насколько разным может быть подход к введению круга? Как построить работу со слабым учеником?

Изучение тригонометрии начинается с измерения и откладывания углов. И уже на этом этапе репетитор по математике может столкнуться с определенными проблемами. С чем они связаны? Обычно путают расположение углов на круге и не видят его в «раскрытом состоянии». Ни в одном учебнике я еще не встречал того, что говорю своим ученикам. Давайте посмотрим на рисунок круга. Что это такое? В глазах ученика это ограниченная замкнутая линия, на которой репетитор по математике наносит какие-то числа и буквы \pi, объявляя их углами. Около одной и той же точки подписывается сразу несколько различных значений. Что это? Еще и радианы вместо привычных градусов. Путаница возникает страшная. Особенно когда репетитор по математике переходит к решению простейших тригонометрических уравнения (это тема в учебнике Мордковича идет чуть ли сразу за тригонометрическим кругом). Как внести ясность в происходящее?

Методика спирали репетитора по математике

Я всегда «разматываю» тригонометрический круг. Как? Что это за действо? Все очень просто. Объясняю так: «углы, как и длины отрезков, откладываются (изображаются) на бесконечной оси. Только для практической работы с процессом изображения удобнее смотать эту ось петлями, или, говоря другими словами, представить ее в виде спирали». И показываю рисунок:
Методика-спирали-репетитора-по-математике

При таком подходе репетитор по математике обеспечивает полную прозрачность действий с углами и ясность в их изображении. Чтобы упростить работу ученика с кругом нужно подать его как ось для углов, которую как веревку намотали на трубу и нарисовали получившейся профиль. Такая методика помогает репетитору по математике снять огромное количество проблем не только на этапе введения самого круга, но и на последующих уроках. особенно в решении уравнений и неравенств, когда приходится записывать целую серию углов, изображающиеся одной и той же точкой или дуги, наложенные друг на друга. Я советую репетитору выделить цветом часть круга, соответствующую одному обороту (на рисунке она показана коричневым цветом) и назвать ее «дорожкой». Методика-дорожек-репетитора-по-математике Сам круг можно еще сравнить с велотреком, по которому движутся велосипедисты от точки старта (в начале отсчета спирали) в положительном или отрицательном направлении. Для перехода с дорожки на дорожку мы прибавляем или отнимаем 2 \pi .

Ученик должен усвоить, что рисунок учебника – картинка затянутой спирали, как будто трубу плотно обмотали веревкой. В таком случае разные отметки (деления) оси (то есть веревки) будут наложены друг на друга и мы увидим что отметки разных углов сливаются в одну точку. Если мы ослабим веревку, то получим спираль, на которой каждый угол изображается отдельно.
В те моменты, когда репетитор по математике чувствует непонимание и путаницу с углами на помощь приходит изображение круга в спиральном виде. Например, решение тригонометрического уравнения Sin x=\frac{1}{2} можно показать так:

Решение-уравнения-Sinx05

Необходимо сказать, что черные точки (углы) — это и есть решение уравнения. И если мы сожмем спираль (затянем веревку на трубе), то они наложатся друг на друга и превратятся в левую и правую. После этого репетитор может сделать стандартный рисунок. Таким путем преподавателю будет легче объяснить формулы x = arcsin a + 2 \pi n и x_2=\pi-arcsin a + 2 \pi n . а ученик лучше запомнит периодический характер расположения корней.

Александр Николаевич, репетитор по математике Москва, м. Строгино

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Анжелика сентября 18, 2015 в 0:39

Очень интересное изложение, спасибо, буду использовать в работе.

Оставьте комментарий