Вчера мой ученик принял участие в районном туре всероссийской олимпиады по математике для 9 класса от 11 декабря 2012 года. Результатов еще нет, но задачи с нее уже были разобраны на уроке. Мне везет на олимпиадников, ибо не каждый репетитор по математике имеет счастье поработать одновременно сразу с несколькими сильными учениками одного возраста. В этом случае в планы репетитора на занятие включается разбор одних и тех же свежих олимпиадных задач. Это и удобно и эффективно. Свежие задачи — хороший стимулятор учебной работы как для самого репетитора (скучно решать номера одного и того же содержания из года в год), так и для ученика (из-за актуальности олимпиады).
Олимпиадные задачи по математике 9 класс
1) На рисунке показан график приведенного квадратного трехчлена в системе со стертой осью ординат.
Расстояние между соседними изобюраженными точками равно 1. Чему будет равен дискриминант такого трехчлена? Обоснуйте ответ.
2) После того, как артисты цирка вернулись со своих гастролей, знакомые стали расспрашивать дрессировщика о том, какие животные участвовали в представлениях: «Тигры были?» — «Да, их было ровно в 7 раз больше не тигров». «А были ли обезьяны?» — «Да, было в 7 раз меньше, чем не обезьян». «А были ли львы?». Какой ответ дал дрессировщик?
3) Найдется ли восемь последовательных натуральных числа, у которых в разложении на простые множители каждый такой множитель входит в разложение в нечетной степени? (К примеру есть два таких последовательных числа 
и 
.
4) 
В трапеции ABCD длина основания BC в 4 раза меньше длины основания AD. Через середину диагонали BD проведена прямая, параллельно к AB, пересекающая cторону CD в точке H. Найдите отношение отрезков DH:HC.
5) Какое максимальное количество клеток можно указать на шахматной доске, чтобы из любой указанной клетки на любую другую указанную клетку можно было бы перебраться шахматному коню ровно двумя ходами?
6) 
Пусть АE — биссектриса угла треугольника ABC, а точка P — такая точка на его стороне АС, что CP=CE. Прямая PE пересекается с биссекторисой угла B в точке S. Докажите, что AS=SE.
Комментарий репетитора по математике: для решения задачи №6 попробуйте доказать, что угол 
и рассмотрите окружность, проходящую через точки A,В,Е и S.
Для задачи №4 я нашел сразу 2 решения: чреез теорему Менелая в треугольнике BCD и через теорему о пропорциональных отрезках, образованных пересечением угла СDA параллельными прямыми. В любом случае репетитор по математике дает указание ученику на дополнительное построение.
В задаче c доской у меня получилось найти максимум 8 точек. Обоснование долгое, но простое. Может быть я опубликую его отдельно.
Колпаков Александр, репетитор по математике в Строгино. Москва.
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }