Вступительная олимпиада по математике в МФТИ — ЗФТШ

by Колпаков А.Н. on 1 января 2012

Как и экзамены, олимпиады по математике тоже бывают разными. И не только по уровню, но и по типу их проведения. Самая распространенная форма — классическая очная. Во все времена репетитор по математике именно к таким испытаниям готовил сильных подопечных, проявляющих подлинный интерес к предмету. Однако сегодня все чаще применяется удаленная форма отбора талантов, когда задание или высылается в конверте (как делалось еще каких-то 5-6 лет назад) или предлагается в он-лайн режиме на математическом сайте, на сайте какого-либо крупного ВУЗа или образовательного центра.

Поскольку организационный контроль за честностью выполнения заданий со стороны составителей удаленных олимпиад отсутствует практически полностью, репетитор по математике получает огромное число предложений поучаствовать в черных схемах. Я не соглашаюсь на подобные подставы, но задания с различных виртуальных олимпиад с удовольствием использую в своей работе и публикую на сайте. Перед вами один из вариантов вступительной олимпиады по математике в МФТИ (ЗФТШ) сезона 2000—2001, который я разбирал со своим учеников лет 10 лет ому назад. Эх, славное было тогда время. Никакая подготовка к ЕГЭ по математике с ее пресловутыми стандартами не давила на репетитора. Можно было заниматься по свободной и максимально продуктивной собственной программе и опираться на серьезные книжки, рассчитанные на комплексное знаний и рекомендованные для работы со способным учеником.

Задачи с олимпиады по математике

1) Дома Пятачка и Винни-Пуха находятся на расстоянии 1 километра друг от друга. Однажды они вышли одновременно из своих домов и каждый из них пошел в каком-то направлении от дома по прямой. Пятачок проходил в час 4 км, а Вини проходит в час 3 км. Они встретились через некоторое время. Сколько часов (минут) могло продолжаться такое путешествие? Укажите наименьшее и наибольшее время.

2) Внутри острого угла отмечена точка S. Укажите на сторонах угла такие точки E и F так, чтобы периметр треугольника SEF был наименьшим.

3) Имеются 3 сосуда вмещающие 3 литра, 3 литра и 7 литров. Можно ли налить с их помощью в большой сосуд ровно 5 литров воды?

4) Найдите все пятизначные числа вида
2m57n= 2 \cdot 10^4 + m \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 +7 \cdot 10 +n

5) На плоскости даны три прямые m, n и k, которые не проходят через одну точку. На прямых m и n построить точки А и В так, чтобы отрезок АВ был перпендикулярен прямой k и делился этой прямой пополам.

6) Числа x, y и z — последовательные члены арифметической прогрессии, сумма которых равна 21. Числа x-1, y+1, z+21 – последовательные члены геометрической прогрессии. Найдите x, y, z.

7) Решите уравнение \sqrt{2-x} = |x-1|-2

8) В корзине лежало не больше 70 грибов. После того, как их вымыли, выяснилось, что 52% всех грибов – белые. Если из корзины вынуть три самых маленьких гриба, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько грибов было в корзине?

9) Острый угол ABC ромба ABCD равен 60^\circ. Окружность проходит через точку пересечения диагоналей ромба, касается прямой АВ в точке В и пересекает сторону СD в точке Е. Найдите в каком отношении тока E делит отрезок CD.

10) Множество А состоит из всех точек плоскости, координаты которых (x,y) удовлетворяют системе неравенств:
Задание по математике. Cистема неравенств.

Определите, при каких значениях а это множество содержит отрезок [-2;-1] на оси Ох.

11) Решите неравенство:
Из коллекции задач репетитора по математике. Иррациональное неравенство

12) Точки К и L – середины боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС. Точка М расположена на медиане AL так, что АМ:ML=13:12. Окружность с центром в точке М касается прямой АС и пересекает прямую KL в точках P и Q. Найдите периметр треугольника АВС, если KL=10, PQ=4.

13) Решите систему уравнений:
Олимпиадное задание по математике. Тригонометрическая система

14) На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек с координатами (а,b), удовлетворяющие системе:
Олимпиадное задание МФТИ. Из коллекции репетитора по математике

Изобразите эту фигуру и составьте уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку (4;3) и имеет с фигурой Ф единственную общую точку.

О методике подготовки, которой пользуется репетитор по математике:

При решении варианта нужно обратить внимание на то, что он рассчитан на ученика 10 класса, знакомого с таким разделом как «тригонометрия» и некоторыми приемами решений неравенств на квадратные корни и системы с параметрами. В принципе такие знаний даются в математических классах и для большинства способных учащихся не являются препятствием на пути поиска алгоритма решения олимпиадных задач.

Какую методику обычно принимает репетитор по математике для подготовки к таким олимпиадам?

Если описывать характер проведения олимпиадной работы в двух словах, то стоит прежде всего упомянуть об обязательном контроле за уровнем сложности предлагающихся задач для конкретного учащегося. Репетитору в большинстве случаев необходимо, как минимум, напомнить о некоторые типовых методах решения упрощенных задач (без параметров). Если есть проблемы с ними, то провести парочку подготовительных заданий до того, как приниматься за олимпиадный вариант. Это надо сделать в том чисел и при работе с талантливым школьником, ибо даже он часто забывает о различных мелочах, представленных в общих алгоритмах. Их надо повторить накануне и только после этого предоставить задания для самостоятельного исследования. Репетитору по математике не желательно вмешиваться в процесс размышлений пока не станет очевидным, что ребенок не справляется с ними самостоятельно. Тогда уже можно направлять и подсказывать, но делать это не навязчиво, оставляя ученику некоторое пространство для мысли, подсказывая или перечисляя только какие-то элементы целостного решения и наиболее распространенные ходы. Если и это не поможет, тогда уже решение показывается полностью от начала и до конца.

А.Н. Колпаков. Репетитор по математике — подготовка к олимпиадам. Москва. Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий