Ученики продолжают приносить мне реальные варианты различных олимпиад. За последние несколько лет работы репетитором по математике я успел собрать приличную коллекцию олимпиадного материала для учащихся 4 — 5 классов. Ориентируюсь на нее при составлении плана урока. Толстенная пачка листов с тщательно отобранными и сортированными задачами (занимательными, нестандартными или логическими) занимает в моем шкафу целую полку. Перед тем, как свежий вариант дополнит ее оригинальными номерами, он проходит полную и обязательную проверку на корректность всех условий и формулировок, а также на соответствие решений программным стандартам по каждому классу.
Вниманию репетиторов по математике предлагается редактированная версия прошедшей в январе 2012 годаолимпиады для 5 класса от творческой лаборатории 2×2. Если Вы в ней участвовали, то заметите, что я несколько исправил тексты условий (убрал из них лишнее) и доработал вопросы. Один из номеров (про автобус с лжецами и правдолюбами) не прошел ОТК из-за своей неоднозначности и был заменен на 100% корректную задачу про цифры и квадраты. Приятного размышления!
Олимпиадные задачи по математике 5 класс
1) Преподаватель написал на доске число 2014 и предложил ученикам 5 класса «A» такую игру: за один ход можно или уменьшить или увеличить это число на произведение любых его цифр (в любом количестве). Нужно из 2014 за наименьшее число ходов получить 2047. Вася был победителем математической олимпиады и сразу догадался, что это сделать невозможно. Как он пришел к такому выводу?
2)
Два листа прямоугольной формы наложили друг на друга как это показано на рисунке. Оказалось, что длина отрезка, выделенного синим цветом, равна 10см. Определите, какая площадь больше: «двойная» (закрашенная) или оставшаяся (из четырех треугольников взятых по одному разу) .
3) Взрослые и дети встали в круг. Известно, что у семерых человек оба соседа – дети, а у еще четверых один сосед взрослый, а другой — ребенок. Сколько всего детей встало в круг? Какое наименьшее число взрослых может быть при таком условии?
4) 
Принцесса прогуливалась по замку. Она вошла в него через главные ворота, а вышла через какую-то из потайных дверей A,B,C,D,M, N или P. Двери обозначены на плане замка. Известно, что принцесса побывала в 15 комнатах ровно по одному разу. Через какие двери она могла выйти? Укажите все возможные варианты и объясните, почему она не могла выйти из замка через другие ворота.
5) 9 пустых кружков образуют квадрат 3×3. Расставьте в них цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9 так, чтобы их сумма во всех шести квадратах, показанных на рисунке, была одинаковой.
Комментарий репетитора по математике к №5: кажется, что с пятой задачей можно справиться только путем случайного подбора варианта (угадыванием) или перебирая все возможные расстановки цифр. Ни то ни другое не приветствуется. За угадывание могут вообще ни одного балла не поставить, а перебор выливается в такую рутину, что ни на одно из оставшихся заданий времени не хватит. Репетитор по математике должен научить ребенка отбрасывать значительное количество неподходящих вариантов, доводя их остаток до минимума. А уже по нему организовывать перебор. Для сокращения вариантов расстановки девяти цифр найдите сумму 
. С ее помощью определяется сумма трех цифр каждого из углов большого квадрата и варианты для центрального числа! Далее следует перебор.
О задаче про замок: Лучшая задача данной олимпиады. Обратите внимание на ориентацию треугольников в замке и попытайтесь объяснить такой факт: путь от одной комнаты до другой (измеренный промежуточными комнатами) всегда оказывается одной и той же четности. Это самое главное, что необходимо найти для завершения поиска решения.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике — помощь в подготовке к олимпиадам. Москва.
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }