Задача С4 с ЕГЭ по математике 2012г. Решение репетитора

by Колпаков А.Н. on 9 июня 2012

Итак, свершилось! Проведен очередной (уже четвертый по счету) ЕГЭ по математике. Многим интересно посмотреть, как репетитор по математике решает задачу С4, которая была на нем предложена. Она у многих не получилась. И даже сами репетиторы не сразу разобрались, что к чему. Вчера мне прислали текст условия С4 и я тут же решил опубликовать свое решение.

Рисунок репетитора по математике к задаче С4 с ЕГЭ 2012
Дан треугольник АВС, в котором AB=7, АС=9 и ВС=10. Окружность проходит через точки В и С и пересекает лучи АВ и АС в точках М и Н соответственно. Найти МН, если в ВМНС можно вписать окружность.

Решение репетитора по математике:
Найдем косинус угла А в треугольнике АВС по теореме косинусов:

BC^2 = AB^2 + AC^2 -2 \cdot AB \cdot AC \cdot CosA \implies CosA = \dfrac {AB^2+AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}

Cos A = \dfrac{49+81-100}{2\cdot 7 \cdot 9}=\frac{5}{21}

Применим свойство отрезков секущей (случай их внешнего пересечения) для секущих АВ и АС. Имеем равенство AM \cdot AB = AH \cdot AC. Пусть AM=x, тогда x\cdot 7=AH \cdot 9 \implies AH=\frac{7x}{9}
Как репетитор по математике вводит переменную в С4 с ЕГЭ 2012

Выразим длину отрезка MH через икс по теореме косинусов в треугольнике АМН:

MH^2=AM^2+AH^2-2 \cdot AM \cdot AH \cdot Cos A

MH^2=x^2+\dfrac{49x^2}{81}-2 \cdot x \cdot \frac{7x}{9} \cdot \frac{5}{21}=\dfrac{100x^2}{49} \implies MH=\frac {10x}{9}
Завершающий этап решения репетитора - рисунок для составления уравнения

Применим критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Так в BMHC можно вписать окружность, то BM+HC=BC+MH \implies 7-x + 9 - \frac{7x}{9} = 10 + \frac{10x}{9} \implies x=\frac{27}{13}

И, наконец, MH=\frac{10}{9} \cdot \frac{27}{13}=\frac{30}{13}
Второй случай:
Как репетитор показывает второй случай Возможно принципиально иное расположение точек M и N. Почему? В условии задачи С4 сказано, что окружность пересекает прямые АВ и АС, поэтому нельзя исключать случай расположения точек пересечения с продолжениями сторон. Обе точки M и N (очевидно) не могут располагаться вне отрезков (иначе вписанная в \triangle ABC окружность не сможет коснуться отрезка MN. Поэтому одна из точек лежит на стороне, а другая на ее продолжении. Пусть N \in AC (cм. рисунок слева). Тогда по свойству отрезков хорд имеем AB \cdot AM = AN \cdot AC . Из этого равенства следует, что \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AC}{AM} \implies \triangle ABC \sim \triangle ANM . Так как они описаны около одной окружности, то их коэффициент продобия будет равен 1, поэтому эти треугольники равны, а следовательно MN=BC=10

Пусть \frac{30}{13} или 10.

Как репетитор по математике оценивает задачу: мне всегда было интересно оценивать конкурсные задания по разнообразию и количеству математических фактов, участвующих в их решении. В случае с условием С4 подбор средств для решения оказался достаточно интересным и профессионально выполненным, ибо удалось задействовать сразу три мощных теоремы планиметрии: свойство отрезков секущих, теорема косинусов (применялась дважды) и критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Кроме проверялось умение абитуриента выражать с их помощью отдельные элементы рисунка и использовать полученные выражения при составления финального уравнения.

Можно отметить достаточно высокую степень уникальности задачи. Я не припомню аналогичного условия в каком-либо задачнике, хотя моя подготовка к ЕГЭ по математике отличается большой обзорностью приемов и тем, рассмотрением широкого спектра вариантов прошлых лет (как с ЕГЭ, так и внутренних конкурсных номеров, предлагавшихся сильными ВУЗами раньше). Моя оценка задаче — 9 баллов из 10.

А.Н. Колпаков, репетитор по математике в Москве. Строгино

{ 5 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Пётр июня 21, 2012 в 9:55

Здравствуйте! Можно ещё решить без теоремы косинусов. После применения свойств отрезков секущей, выходящих из одной точки, доказываем, что треугольники АВС и АНМ подобны (АН=7х, АМ=9х, МН=10х), дальше всё аналогично. Уходим от двух вычислений теоремы косинусов.

Колпаков А.Н. июня 22, 2012 в 0:28

Да, конечно! Спешил с оформлением решения и пропустил еще более простой ход. Недавно знакомый репетитор по математике прислал мне решение МИОО. Оно получилось и не такое и не такое, а свое. На мой взгляд, сильно сложнее. План моих действий в этом С4 был составлен за 2-3 минуты. Остальное — реализация. Думаю, если посидел бы с задачей еще минуты 2-3 — нашел бы и второе решение :). Надо будет его тоже оформить! Есть еще второй случай, когда окружность пересекает не стороны, а их продолжения (решается иначе). Однако у меня до недавнего моменте не было точной формулировки задачи с4. То, что было прислано по смс — сокращенный текст условия. По нему и решал.

Александр января 8, 2013 в 14:27

Удалить справедливое замечание! Пять баллов! Бедагог!!!

Александр января 8, 2013 в 15:36

А если отрезок МН пересекает прямые не по лучам? Блин, математики!!! Сказали же, что по прямым! Ну и? А удалять можете сколько угодно! Я теперь знаю Вашу «математическую» и просто человеческую культуру!

Александр января 23, 2013 в 21:28

Не обратил внимание на то, как автор рассмотрел второй случай! В условии сказано, что в ВМНС можно вписать окружность! Очень «веселенькое» решение предложил автор сайта. А второй случай возможен именно тогда, когда окружность пересекает продолжение сторон за точки В и С. И рассматривается аналогично первому. Конечно, без всяких теорем косинусов. Ответ будет МН=130/3.

Оставьте комментарий