Математика числового треугольника. Вызов репетитору

by Колпаков А.Н. on 29 июня 2012

Недавно меня попросили решить одну незатейлевую задачу по математике на натуральные числа, которая на первый взгляд показалось детской игрушкой, не достойной оформления на отдельной странице. Однако при более внимательном ее изучении я понял, что мне брошен вызов. Любой репетитор по математике в душе тихо ненавидит ежедневную рутиную работу по устранению пробелов у отстающих и всегда с особым интузиазмом берется за решение крепких олимпиадных задача. Так произошло и с этой задачей. Я получил истинное удовольствие от привычной возни со сложными занимательными задами для 8 — 9 класса (благо в летный период у репетитора по математике свободного времени в избытке). Ниже рассмотрено ее решение, а условие такое:

В первой строке пишем 1
во второй 2;3
в третьей 4;5;6
в четвертой 7;8;9;10
и так далее.

Вопрос: в какой строке этого числового треугольника и на каком месте стоит число 1000? Математика числового треугольника - вызов репетитору

Как репетитор по математике искал решение?

Я сразу обратил внимание на главную особенность числового треугольника: репетитору прислан самый обычный натуральный ряд чисел, только разрезанный на кусочки увеличивающейся длины на 1. Это надо использовать. Что мы ищем? Строку? В ней обязательно есть последний элемент (последнее число). Что он из себя представляет и как связан с другими числами? Как известно, количество чисел ряда 1;2;3;...;n равно n. Поэтому последее число в искомой строке совпадает с количеством всех выписанных до него чисел, а поэтому для его поиска нужно просто сложить номера строк. Не быть мне репетитором по математике, если бы я забыл простейшую формулу для подсчета суммы 1+2+3+...+4=\dfrac{1+n}{2} \cdot n . Осталось выяснить минимальный номер n, при котором эта сумма превышает или совпадает с 1000, то есть решить неравенство:
\dfrac{1+n}{2} \cdot n  \geqslant 1000 . Проводя простейшие преобразования, приходим его к квадратному виду: n^2+n-2000 \geqslant 0
Так репетитор по математике находит число 45

Нули функции: n_{1/2}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{8001}}{2}, причем n_2 \approx 44,22

Очевидно, что минимальным натуральным решением неравенства оказывается число 45. Поэтому 1000 стоит в 45 строке.

На первый вопрос ответили.

Теперь попробуем узнать где именно стоит заветная 1000. Для этого достаточно найти число на каком-нибудь месте в этой строке, например, на первом. Рассмотрим последовательность первых элементов всех строк 1;2;4;7;11;16... Нам нужно узнать число с номером 45. К сожалению, эта последовательность не похожа ни арифметическую, ни на геометрической прогрессию, поэтому репетитору по математике пришлось выискивать какую-то уникальную ее особенность, за которую можно было бы зацепиться. Она открылась через пару минут: каждое следующее число больше предыдущего ровно на номер предыдущего числа, а поскольку этот номер растет на единицу с каждым переходом от a_n к a_{n+1}, то к моменту вычиcления n-го члена (рекурентным способом) у нас накопится следующая сумма 1+1+2+3+4+5+6+...+(n-1). Так как мы ищем 45-й ее член, тогда

a_{45}=1+1+2+3+4+5+6+...+44=1+\dfrac{1+44}{2} \cdot 44=991

Итак, на первом месте в 45 строке стоит число 991. Тогда очевидно, что 1000 стоит на 10 месте.

Ответ: 45 строка и 10 место.

Александр Николаевич, репетитор по математике Москва. Строгино.

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Ольга октября 30, 2012 в 5:41

Спасибо большое!!! Именно это задали нашему сыну во 2 классе 1,2,4,7…. Привет вам из Торонто и спасибо…

Оставьте комментарий