Задачи по тригонометрии — уровень B. Подготовка к ЕГЭ по математике

by Колпаков А.Н. on 22 августа 2012

Для учеников, имеющих средний или слабый уровень знаний по тригонометрии репетитор по математике разбивает подготовку к задачам С1 с ЕГЭ на несколько этапов. Один из них — решение уравнений на замену переменной. Прорешайте размещенный ниже комплект заданий, а затем уже переходите к рассмотрению уравнений с ограничениями. Я собирал номера из разных задачников. Некоторые составлял сам. Главная цель, которая преследовалась — предоставить репетитору по математике достаточное количество номеров на отработку навыков выполнения замены в разных ситуациях. Все уравнения снабжены ответами. Учебный дидактический комплект для качественной подготовки к ЕГЭ по математике с репетитором.

Уравнение на моментальную замену переменной

-----------------------------------------------------------------------------------
1) 2Sin^2x-5Sinx+2=0

Ответ: (-1)^n\dfrac{\pi}{6} +\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
2) 2Cos^2x -Cos x -1 =0

Ответ: x_1=2 \pi n;x_2= \pm \dfrac{2\pi}{3}+2 \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
3) tg^2x-4tgx=-3

Ответ: x_1=\dfrac{\pi}{4}+\pi n ; x_2= arctg 3 + \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
4) \sqrt{2}Sinx=\sqrt{1-Sinx}

Ответ: (-1)^n arcsin \dfrac{\pi}{6} +\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
5) \sqrt{sinx}=1-6Sinx

Ответ: (-1)^n arcsin \dfrac{1}{9} +\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
6) \sqrt{sinx-2sin^2x}={1-2Sinx}

Ответ: (-1)^n \dfrac{\pi}{6} +\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
Уравнения на замену переменной после некоторого преобразования

-----------------------------------------------------------------------------------
7) -2Cos^2x - Sinx+1=0

Ответ: x_1=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n; x_2=(-1)^{n+1} \dfrac{\pi}{6}+\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
8) 2Cosx - \sqrt{3}Cosx -2Sin^2x+2-\sqrt{3}=0

Ответ: x_1=\pi + 2 \pi n; x_2=\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
9) \dfrac{1}{ctg^2x} -4 \dfrac{sinx}{Cosx}=-3

Ответ: x_1=\dfrac{\pi}{4}+\pi n; x_2=arctg{3} +\pi n

10) 2Sin^2x+3Cosx=0

Ответ: x=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
11) 4-4Cos^2x-2Sinx +2\sqrt{3}Sinx = \sqrt{3}

Ответ: x_1=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{3}+\pi n; x_2=(-1)^{n} \dfrac{\pi}{6}+\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
12) \dfrac{1}{tg^2x} - \dfrac{Cosx}{Sinx}=2

Ответ: x_1=\dfrac{3\pi}{4}+\pi n; x_2=arctg 2 + \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
13) 2Sin2x+\sqrt{2}Sin2x-2Cos^22x+2+\sqrt{2}=0

Ответ: x_1=\dfrac{3\pi}{4}+\pi n; x_2=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{2}

-----------------------------------------------------------------------------------
14) 3Cos^23x-2Sin^23x=2

Ответ: x=\dfrac{2\pi n}{3}

-----------------------------------------------------------------------------------
Уравнения на формулы двойного угла и замену переменной (отобрано репетитором по математике)

-----------------------------------------------------------------------------------
15) Cos2x=Cos^2x

Ответ: x=\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
16) Cos2x-1=2Sinx

Ответ: x_1=\pi n; -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
17) Cos2x=Sinx+1

Ответ: x_1=\pi n; x_2=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
18) 1+Cos4x=Cos2x

Ответ: x_1=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi}{2} n; x_2=\pm \dfrac{\pi}{6} + \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
19) Cosx=Sin2x

Ответ: x_1=\dfrac{\pi }{2}+\pi n;x_2=(-1)^n \dfrac{\pi}{6}+\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
20) 2Sin^2 \frac{x}{2}+Cos 2x =0

Ответ: x_1=\dfrac{\pi}{2} + \pi n ;x_2= \pm \dfrac{\pi}{3}+2 \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
21) 2Cos^\frac{x}{2}+Cos2x=1

Ответ: x_1=\pi + 2\pi n ; x_2=\pm \dfrac{\pi}{3}+2 \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
22) 2Sin^2x+Cos4x=0

Ответ: x_1=\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{2} ; x_2=\pm \dfrac{\pi}{6}+ \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
23) Cos^2x + Cos 4x + 0,25=0

Ответ: x_1=\pm \dfrac{\pi}{3} + \pi n ; x_2=\pm arccos \dfrac{1}{4}+ \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
Уравнения на замену с применением формул приведения

-----------------------------------------------------------------------------------
24) Cos2x -Cos \left ( \dfrac{3\pi}{2} +x \right ) + 2 = 0

Ответ: x=\dfrac{\pi}{2} + 2 \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
25) Sin \left ( x - \dfrac{\pi}{2} \right ) = Sin 2x

Ответ: x_1= \dfrac{\pi}{2} + \pi n ; x_2=(-1)^n \dfrac{\pi}{6} + \pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
26) Sin \left ( 2x-\dfrac{17 \pi}{2} \right ) = 1+ sinx

Ответ: x=(-1)^n arcsin \dfrac{1-\sqrt{17}}{4}+\pi n

-----------------------------------------------------------------------------------
Скоро будут доступны другие уравнения, также сортированные по типам.

Указание репетитора по математике: предлагать ученику подобные уравнения можно только после отработки с ним темы «обратные тригонометрические функции» и «простейшие тригонометрические уравнения». Кроме этого нужно повторить с формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество. Каждое решение должно сопровождаться рисунком, даже если школьник справляется c уравнениями и без них. Слабому ученику репетитору желательно подготовить теоретический листочек с необходимыми формулами и примерами рисунков к простейшим типовым уравнениям вида Cosx=a; Sinx=a; tgx=a и ctgx=a.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — составитель комплекта. Москва. Строгино.

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Артем декабря 31, 2012 в 3:29

Спасибо за этот раздел, задания удобно отсортированы, что редко встречается в сборниках. Удобно и репетитору и ученику. Встречал в части Б однородные тригонометрические уравнения, которые тоже решаются заменой — можно было бы добавить парочку в этот раздел ;)

Оставьте комментарий