Огромные проблемы в работе с олимпиадными тексовыми задачами на движение испытывает репетитор по математике, привыкший в любых ситуациях призывать на помощь переменные и уравнения. Большинство занимательных задач по математике на скорости для 5 класса составлены с рассчетом на какие-либо хитрые сравнения временных процессов и опорой на некое постоянство пути или скорости, а некоторые из них удобно и быстро решаются через метод «представьте себе». В чем он состоит? Ставка репетитора по математике делается на смене сюжета задачи: продолжается движение, путь разбивается на кусочки, движение останавливается, меняется чья-либо скорость и т.д. Если искомый параметр при этом не изменится, а решение приобретет ясность и прозрачность — почему бы новые условия не использовать?
Рассмотрим одну из таких задачек для 5 класса, с которой практикующий олимпиадную математику репетитор, наверняка знаком.
Задача про друзей:
Дзузья Времянков и Путькин одновременно отправились из села А в село В. Времянков половину времени, затраченного на весь путь, ехал на лошади со скоростью 40км/ч, а остальное время шел пешком со скоростью 4 км/ч. Путькин же половину пути ехал на лошади и половину пути шел прошел пешком с теми же скоростями. Кто из быстрее прибыл в пункт В?
Репетитор анализирует условие:
Кажется, что разделение времени на две равные части дает возможность Времянкову в любом случае приехать раньше (независимо от длины пути и времени, потраченном на всю дорогу). Это действительно так, но только при существенной разнице в скоростях.
Решение репетитора по математике задачи про друзей :
Воспользуемся простой зависимостью между скоростью и расстоянием при постоянном времени (если в ней ученик плавает репетитору по математике требуется посвятить сравнению отдельное занятие): во сколько раз большую скорость имеет объект, во столько раз больший путь он проедет (за отведенное равное время). То есть, во сколько раз отличаются скорости, во столько же раз отличаются и пути, пройденные за любое равное время. Поэтому путь АN в 10 раз больше пути NB.
Теперь репетитор меняет условие и вводит путь PB (смотри рисунок):
Представим себе, что Времянков, вместо того, чтобы ехать половину времени со сторостью 40 км/ч будет идти это время пешком со скоростью 4 км/ч. В этом случае общее время его движения не изменится, а изменится путь. Он проедет расстояние PB (показано на рисунке), которое в два раза большее NB, и, очевидно меньшее, чем половина всего расстояния от А до В (из-за существенной разницы между скоростями 40 км/ч и 4 км/ч у Времянкова). Понятно, что NB меньше половины MB и поэтому точка P лежит между M и N.
Путькин тоже проехал расстояние PB с той же скоростью 4 км/ч, а поэтому потратил на PB столько же времени. Однако, кроме этого времени было затрачено дополнительное время еще и на путь АР, из-за которого, очевидно, Путькин прибыл в В позже Времянкова.
Задача была взята из давнего варианта Курчатовской олимпиады по математике, проведенной в школе 1189 несколько лет назад. За годы подготовки к олимпиадам у меня накопилась внушительная стопка интересных задачек на движение для 5 класса самого разного уровня и тематики. В некоторых из них репетитору по математике без «представьте себе» не выжить :) Приходится продлевать движения или менять их скорости (как в рассмотренной выше задачке). Самостоятельно без репетитора ребенок вряд ли догадается что-либо поменять в сюжете условия. Школьная математика «не разрешает» вмешиваться в условия и вбивает в головы учащихся исполнительно-шаблонные / стереотипные модели мышления.
Александр Николаевич, репетитор по математике — методист, Москва.
{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }
Спасибо! Замечательное объяснение!