Задачки по математике на оптимизацию с комментариями репетитора

by Колпаков А.Н. on 3 марта 2013

Выношу на публику несколько сложных конкурсных задач на поиск наибольших и наименьших значений выражения (функции). Они занимают особое место в шкафу у репетитора по математике и используются исключительно в работе с талантливыми детьми для развивающих занятий и подготовки в МГУ. Независимый от программ комплект с реального занятия, рассчитанный на один урок продолжительностью в 45 минут. Для учащихся старших классов (с 9 по 11 класс) и репетиторов по математике, использующих он-лайн материлы в своей работе.

1) Найдите наименьшее значение функции на всей ее области определения:
А) \dfrac{x-x^2-2}{x^4-2x^3+5x^2-4x+8} Ответ: -\dfrac{1}{4}

B) \dfrac{2x-x^2-4}{x^4-4x^3+12x^2-16x+25}  Ответ: -\dfrac{1}{6}

2) Найдите наибольшее значение функции на всей числовой прямой:

А) \dfrac{x^2-x+3}{x^4-2x^3+7x^2-6x+25}    Ответ: \dfrac{1}{8}

B) \dfrac{x^2-2x+4}{x^4-4x^3+12x^2-16x+25}    Ответ: \dfrac{1}{6}

3) Найдите наименьшее значение выражения и те значения переменных, при которых оно достигается:

А) x^2-2xy+4y^2+9x-12y+20

Ответ: -1 при x=-4; y= 0,5

B) 4x^2+2xy+y^2-4x-y+2

Ответ: min = 1 при x=0,5; y = 0

Справка от репетитора: Обращаю внимание на то, что номера 3 и 4 можно решить строго школьными методами. Репетитору по математике вовсе не обязательно рассказывать частные производные, позволяющие применить стандартный алгоритм поиска экстремума функций двух переменных. Оставим этот метод для занятий по высшей математике. Здесь же используется принцип поиска минимума среди минимумов (максимума среди максимумов). Если у ученика возникают проблемы с пониманием этого принципа на формульно-логического уровне, репетитор по математике приводит в пример аналогию с поиском самого низкорослого (высокорослого) ученика в школе. Есть два пути решения 1) собрать всех школьников со всех классов вместе и выбрать нужного ученика 2) произвести «кастинг» в каждом классе по отдельности, а затем произвести отбор среди отобранных. Такой же принцип репетитор по математике закладывает в объяснение номеров 3 и 4.

4) Наибольшее значение выражения и те X и Y, при которых оно достигается:
А) -3x^2+2xy-2y^2+6x-2y+7

Ответ: 10 при x=1; y=0

В) 14x+10y-5x^2-2xy-2y^2-1

Ответ: 16 при x=1; y=2

5) Найдите наибольшее значение произведения x\cdot y , если

\begin{cases} x\geqslant 0 \\ y \geqslant 0  \\ x+2y \leqslant 1 \end{cases}

При каких значениях X и Y оно достигается?
Ответ: \dfrac{1}{8} при x=\dfrac{1}{2}; y=\dfrac{1}{4}

6) Найдите наименьшее значение произведения x\cdot y при условии:

\begin{cases} x\leqslant 0 \\ y \geqslant 0  \\ 2x-y +2 \geqslant 0 \end{cases}

При каких значениях X и Y оно достигается?
Ответ: -\dfrac{1}{2} при x=-\dfrac{1}{2}; y=1

7) Найдите наименьшее значение произведения x\cdot y при условии:

\begin{cases} x\geqslant 0 \\ y \leqslant 0  \\ x-4y \leqslant 4 \end{cases}

При каких значениях X и Y оно достигается?
Ответ: -1 при x=2; y=-\dfrac{1}{2}

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Чистякова Александра марта 3, 2013 в 18:06

Спасибо, хорошие задачи. Таких задач много не бывает, возьму на вооружение))

Оставьте комментарий