Авторские задачи репетитора по комбинаторике

by Колпаков А.Н. on 14 июля 2014

Для широкопрофильных репетиторов по математике, учебная практика которых не ограничена изучением одних только програмных разделов алгебры и геометрии, предлагается комплект интересных задач по комбинаторике. Материал рассчитан на 1 урок в 8 — 9 классе и является важным этапом подготовки полноценного изучения основ теории вероятностей. Почти все задачи уникальны, составлены лично мной и имеют аналогичные для домашнего закрепления пройденного.

1) Репку пытались вытащить бабка, дедка, внучка, жучка и коша. Сколькими способами они могли бы для этого выстроиться в ряд а) без мышки б) вместе с мышкой ?

2) Сколько существует четырехзначных чисел, состоящих из цифр 3; 5; 7 и 9
а) без повторений б) с повторениями

3) Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 0; 2; 7; 8 и 9
а) без повторений б) с повторениями

4) Правительство планеты Х решило выдать номера всем своим летающим тарелкам. Каждый номер состоит из двух букв местного алфавита и следующего за ними ряда из пяти цифр. Сколько номеров может выдать правительство, если в алфавите 16 букв, а стандартом межгалактической математики является система исчисления, в которой 12 цифр?

5) Уличный продавец напитков решил выставить на прилавок в ряд весь свой товар. Имеется 5 одинаковых бутылок с квасом, 3 одинаковые бутылки с минеральной водой, 6 с газировкой и 7 одинаковых пакетов с соком. Сколько различных оформлений прилавка он может сделать?

6) Сколько существует семизначных телефонных номеров, в записи которых присутствуют
а) четыре цифры 7 и 3 цифры 5
б) две цифры 6, четыре цифры 8 и одна цифра 2
в) пять цифр 3
г) четыре цифры 9
д) только нечетные цифры
е) только натуральные цифры, кратные 3
ж) ровно одна цифра 0
з) ровно две цифры 0
и) менее трех нулей

7) В классе учатся 10 мальчиков и 8 девочек. Сколькими способами из них можно составить команду для участия в викторине, если по правилам в этой команде должно быть ровно 3 мальчика и 2 девочки?

8) По правилам внутреннего чемпионата на поле в составе каждой футбольной команды должно быть не более трех иностранных игроков. В распоряжении тренера имеется 16 отечественных футболистов и 5 иностранных. Сколькими способами он может подобрать состав из 11 человек на игру, если

а) среди иностранцев нет вратаря, а среди отечественных игроков 2 вратаря
б) среди иностранцев 1 вратарь, а среди отечественных игроков тоже 1 вратарь
в) среди иностранцев 2 вратаря, а среди отечественных игроков нет вратарей
г) среди иностранцев 1 вратарь, а среди отечественных игроков 3 вратаря.
(тренер не разделяет полевых игроков на защитников, полузащитников и нападающих)

До использования материала репетитор по математике показывает (частично или полностью доказывая) следующие комбинаторные формулы:

P_n=n!  — число перестановок n различных элементов

P_{k_1,k_2...k_n}=\dfrac{(k_1+k_2+...+k_n)!}{k_1! \cdot k_2! \cdot...\cdot k_n!} -число перестановок k_1 + k_2 +...+ k_n элементов с повторениями (дополнительная формулы для многих учебников по комбинаторике)

A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!} — число размещений (с учетом порядка), но без повторений.

\overline {A} _n^k=n^k число размещений (с учетом порядка) с повторениями.

C_n^k= \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} — число сочетаний (без учета порядка) без повторений.

\overline {C} _n^k= \dfrac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!} — число сочетаний (без учета порядка) c повторениями.

Успехов в изучении комбинаторики!
Колпаков А.Н. Репетитор по математике, Строгино (м.Щукинская). Москва.

Метки: Занимательный репетитор по математике, Пособия репетитора, Репетиторам по математике, Текстовые задачи

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий