Экспресс решение репетитора по математике задачи о раскраске

by Колпаков А.Н. on 3 апреля 2015

Вчера меня слезно попросили показать решение олимпиадной задачи по математике (№29) о раскраске натуральных чисел с конкурса Кенгуру для 7 — 8 классов. Рассмотренный номер (за него давалось целых 5 баллов) оказался настолько простым и одновременно интересным, что я решил оформить его на скорую руку на отдельной странице. Стоит отметить особую дидактическую ценность задания. Репетитор по математике, обучающий ученика 7 класса методу доказательства «от противного», как правило, испытывает острый дефицит простых и эффектных примеров объяснений, подобных этому.

Задача о раскраске: Каждое натуральное число нужно покрасить либо в красный, либо в синий цвет. Раскраску назовем правильной, если сумма любых двух различных красных чисел является красным числом, а любых двух различных синих является синей. Существует ли такая правильная раскраска?

Решение репетитора по математике
Такой раскраски не существует. Для того, чтобы это доказать, предположим, что она существует и найдем противоречие. Итак, допустим ее существование.

1) Очевидно, что оба соответствующих множества бесконечны, так как в противном случае прибавляя к наибольшему числу конечного множества любое число той же окраски, мы получим число из того же множества, но большее, чем большее.

2) Единица должна лежать в одном из множеств, допустим в красном. Возьмем еще одно число X из «красного» множества. Тогда все натуральные числа ряда x+1;x+2;x+3… без пропусков будут лежать в этом множестве. Следовательно, в «синем» множестве могут находиться только числа из промежутка от 1 до X. Тогда оно конечно, что противоречит доказанному в первом пункте.

С уважением, Колпаков А.Н. Репетитор по математике со стажем. Москва, Строгино.

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Колпаков А.Н. июня 25, 2015 в 1:00

Спасибо за качественное объяснение!

Оставьте комментарий