Репетитор по математике о выводе формулы косинус разности

by Колпаков А.Н. on 18 сентября 2015

Рассмотрим вопросы корректного вывод известной тригонометрической формулы разности углов, а именно:

Cos(X-Y)=CosX \cdot Cos Y + Sin X \cdot Sin Y

Всем репетиторам по математике и ученикам, я надеюсь, хорошо известно доказательство, представленное в стандартном учебнике алгебры с использованием скалярного произведения векторов. Однако, далеко не все понимают, что в нем отражено только одно из возможных сочетаний углов X и Y, а именно 0 \leqslant X-Y < \pi . Для этого достаточно вспомнить используемое в выводе формулы понятие угла между векторами. Как известно, угол между векторами лежит именно в полуинтервале [0;\pi) .

Как формул доказывается в учебнике? Рассматривается главный случай, а считают, что доказано полностью. Для исправления этого «брака» я решил поделиться системой своего доказательства:

Корректное доказательство репетитора по математике

Отложим углы X и Y на тригонометрическом круге и соответственно векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow {OB}. Я бы советовал репетитору по математике в цвете выделить точки и радиусы, соответствующие отложенным углам:
Рисунок репетитора по математике в цвете
Точки A и B по определению косинуса и синуса угла получает координаты A(CosX;SinX) и B(CosY;CosY)

Так как \overrightarrow{OA} и \overrightarrow {OB} отложены от начала отсчета (радиус-векторы), то их координаты совпадут с координатами их концов А и B.

Выразим скалярное произведение векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow {OB} через их координаты:

\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow {OB}= Cos X \cdot Cos Y + Sin X \cdot Sin Y (1)

Теперь выразим это же произведение через длины и угол между векторами:

\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow {OB}= |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot Cos( \widehat{\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}})

Учитывая, что радиус тригонометрического круга равен 1, а угол между векторами равен X-Y, получим

\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow {OB}= 1 \cdot 1 \cdot Cos(X-Y) (2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим нужное равенство:
Cos(X-Y)=CosX \cdot Cos Y + Sin X \cdot Sin Y

Теперь самое интересное: пусть X-Y \geqslant \pi .
Второй случай вывода формулы репетитором по математике

Я покажу как справится с главным случаем если \pi \leqslant X-Y < 2\pi. Остальные варианты доказываются аналогично, либо можно просто заменить X на угол, полученный из него вычитанием величины кратной 2 \pi , а дальше воспользоваться периодичностью синуса и косинуса (в обеих частях формулы).

В случае же X-Y \geqslant \pi периодичность репетитору по математике не поможет. Ее просто нет на этом множестве. Что делать?

Представим угол X, который очевидно больше чем \pi , как сумму: X=\pi + Z . Тогда

\pi \leqslant \pi+Z-Y < 2 \pi

0 \leqslant Z-Y < \pi

Рисунок получается несколько перенасыщенным углами, но для упрощения его чтения репетитор по математике пользуется цветным оформлением:

Репетитор представляет угол X как сумма

Имеем:
Cos(X-Y)=Cos(\pi + Z - Y)= - Cos(Z-Y) (второе равенство — формула приведения)

К последнем выражению - Cos(Z-Y) уже применима доказываема формула, так как мы имеем первый случай: разность под знаком косинуса меньше \pi

Тогда, продолжая преобразования, получим

-Cos(Z-Y) = -(CosZCosY+SinZ SinY) =

=-(Cos(X-\pi)CosY+Sin(X-\pi)SinY =

=-(-CosXCosY-SinXSinY)=CosXCosY+SinXSinY)

Что и требовалось доказать репетитору.

Конечно, я прекрасно понимаю авторов учебников. Давай такие полные доказательства школьнику — опасно. Во-первых, объем учебника не безграничен, а во-вторых у 80% старшеклассников не хватит терпения и мужества проследить за всеми пунктами полного вывода.

Поэтому для сильного ученика выходов два: либо искать эти доказательства самому, либо обращаться к репетитору по математике за квалифицированной консультацией. Правда далеко не любой репетитор способен увидеть, что доказательство в учебнике не доведено до конца.

С уважением, Александр Николаевич.

Метки: Методики для репетиторов, Репетиторам по математике, Справочник репетитора, Тригонометрия

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий