Справочник по математике: признаки делимости

by Колпаков А.Н. on 22 сентября 2015

Как известно, соответствующий раздел в школьном учебнике по математике (6 класс) представлен в весьма упрошенном урезанном виде. Здесь Вы найдете полный список признаков делимости на числа до 13 и 25. Я специально подправил некоторые из них для того, чтобы репетитор по математике мог рассказать их в 6 классе без использования аппарата отрицательных чисел. Признаки разбиты на группы по характеру проверок делимости без знакомой каждому репетитору конкретики с перечислением вариантов окончаний (в делимости на 2, на 5, на 10 и 25). Это сделано для наилучшего запоминания и учеником соответствующей классификации.

Классификация репетитора по математике признаков делимости

По последним цифрам числа

По одной последней цифре:

На 2.  Если последняя цифра числа кратна 2 (четная), то число делится на 2.

На 5.  Если последняя цифра делится на 5, то и число делится на 5

На 10. Если последняя цифра делится на 10 (иными словами она должна быть нулем) , то и число делится на 10.

По двум последним цифрам

На 4. Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 4, то и исходное число делится на 4

На 25.  Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 25, то и исходное число поделится на 25.

По трем последним цифрам

На 8. Если последние 3 цифры образуют число, которое делится на 8, то и исходное число разделится на 8

По сумме цифр или классов

На 3.  Если сумма цифр числа разделилась на 3, то и исходное число разделится на 3

На 9. Если сумма цифр разделилась на 9, то и исходное число разделится на 9

На 11. Пронумеруем разряды числа в порядке «слева направо» или «справа налево» (не принципиально). Найдем сумму цифр, стоящих на четных местах. Затем найдем сумму цифр с нечетных мест. Если разность этих сумму будет делиться на 11, то и исходное число будет кратно 11.

Пример: делится ли на 11 число 968753421?
Сумма цифр на четных местах x_1= 6 + 7 + 3 + 2 = 18
Сумма на нечетных x_2=9+8+5+4+1=27
Найдем разность x_2-x_1=27-18=9 . Она не делится на 11, поэтому и 968753421 не делится на 11.

На 7.  Пронумеруем классы у числа в порядке «слева направо» или «справа налево» (не важно)
Найдем сумму трехзначных чисел, соответствующих классам на четных местах, и сумму трехзначных чисел, взятых из классов с нечетными местами. Если разность этих сумм поделится на 7, то и начальное число поделится на 7.

Пример: делится ли на 7 число 123 456 789 556 ?
Сумма чисел из классов на четных местах x_1=456 + 556 =1012
Сумма на нечетных x_2=123 + 789 =912
Разность этих сумм x_1-x_2=1012 -912=100  — не делится на 7.
Значит и 123 456 789 556 не делится на 7.

Аналогичный признак делимости есть и на число 13. Если разность сумм классов (как из предыдущего признака) разделится на 13, то и начальное число обязано поделиться на 13.

Такую же «классовую» проверку можно проводить и с делимостью на 11.

Замечание репетитора:
Единство признаков на 7, 11 и 13 происходит от особенностей разложения на простые множители у числа

1001=7 \cdot 11 \cdot 13

Дополнительный признак на 13:
Отрежем последнюю цифру у числа и добавим у получившемуся результату учетверенную отрезанную цифру. Если получившийся результат сможет разделиться на 13, то и начальное число обязательно поделится на 13.

Доказательство: \overline{ab...yz}=\overline{ab...y0} + z=\overline{ab...y} \cdot 10 + 40z - 39z =
=10 \cdot ( \overline{ab...y} + 4z) -13 \cdot 3 \cdot z
Очевидно, что вычитаемое делится на 13, поэтому делимость разности зависит от уменьшаемого. Поскольку 10 не имеет в разложении на простые множители числа 13, то уменьшаемое поделится на 13 только тогда, когда поделится сумма \overline{ab...y} +4z Что и требовалось обосновать.

Если Вам не достаточно короткого объяснения этого признака — к Вашим услугам репетитор по математике.

Дополнительный признак на 7:
Стандартно пронумеруем классы \overline{n_1n_2n_3} как было описано выше в других признаках. Для каждого из них составим сумму n_3 \cdot 1 + n_2 \cdot 3 + n_1 \cdot 2 с использованием чисел 1, 3 и 2 в порядке «прикрепления» их к разрядным цифрам каждого класса «справа налево». Найдем сумму таких сумм, образованных классами с четными номерами и сумму сумм, образованных нечетными классами. Если разность этих сумм делится на 7, то и первоначальное число делится на 7.

Бонус от репетитора по математике: аналогично признаку на 13, в котором отрезается последняя цифра, имеется признак на 7: число разделится на 7, если разность числа без его последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7. Например число 609 кратно 7 так как на 7 разделится число 60 - 2 \cdot 9 = 42

Если Вам нужна олимпиадная практика решения задач на делимость — обратитесь к квалифицированному репетитору, имеющему соответствующий опыт объяснений и планирования уроков на дополнительные темы и разделы школьного курса.

С уважением, Колпаков Александр Николаевич. Олимпиадная практика по математике в Строгино.

Метки: Справочник репетитора, Элементарная математика

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Владимир 6 апреля, 2019 в 5:49

Есть простой признак делимости на 8.
Возьмем 3 последние цифры числа.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда:
— число сотен — четное (включая 0) и последние 2 его цифры делятся на 8, или число сотен — нечетное и последние 2 его цифры +4 делятся на 8.
Пример.
— Число сотен — четное:
232=2’32, 32 делится на 8, а значит, и 232 делится на 8.
— Число сотен — нечетное:
712=7’12, 12+4=16, 16 делится на 8, а значит, и 712 делится на 8.

Оставьте комментарий