Задача о тупых углах с Кенгуру по математике 7 класс

by Колпаков А.Н. on 5 октября 2015

Разберем решение одной древней олимпиадной задачи по математике для 7 класса с популярного конкурса Кенгуру. Выполняю просьбу одного из посетителя сайта, который не сумел справится с ней самостоятельно и прислал соответствующий запрос на подробное объяснение. Статус репетитора по математике с одной стороны обязывает снимать любые учебные вопросы, однако не всякий репетитор подскажет решение нестандартной олимпиадной задачки. И тем более редко когда ученик получает от преподавателя истинно ясное и полное разъяснение, соответствующее его возрасту. На страницах моего сайта Вы можете учиться этим объяснениям, а также размещать свои версии любых интересных задач, даже тех, которые уже оформлены мной. Присылайте на почту свои оригинальные тексты с решениями. Я с великим удовольствием и благодарностью их опубликую, а также поставлю ссылку на анкету приславшего их репетитора по математике.

Задача про углы с конкурса Кенгуру для 7 класса.
Вовочка провел из одной точки 30 лучей. Какой максимальное число тупых углов у него могло получится?
Будем строить лучи по одному, обеспечивая на каждом этапе появление максимального количества дополнительных (новых) тупых углов. Если удастся добиться единого характера пошагового построения, то, действуя по индукции, можно будет составить алгоритм для обеспечения максимума углов при любом заданном количестве лучей.
Если Вовочка проведет 3 луча, то рисунок с максимумом тупых углов будет похож на знак мерседеса. Репетитор по математике вычерчивает соответствующий рисунок:
Мерседес репетитора по математике

Как провести четвертый луч, чтобы он образовал как можно больше новых тупых углов с уже имеющимися лучами? В наличие 3 области по 120 градусов каждая. Если новый луч не прижать к границе одной из них, а разрезать зону на 2 «крупные» части, то он не сможет образовать острые углы с двумя ее границами. Если прижать, то острым будет только один новый угол, а остальные (их 2 штуки на данном этапе) окажутся тупыми. Это оптимальный ход. На каждом следующим шаге встраиваемый луч снова не должен резать зону на части, а поэтом его следует также прижимать. Только границами зон уже будут целые пучки лучей. Возникает вопрос: «К какому именно пучку репетитору по математике прикрепить новый лучик?

Новый лучик репетитора по математике Размышляем так: новый луч не сможет образовать тупых углов только с лучами его пука. Поэтому чем меньше лучей в пучке, тем меньше острых углов получится и, как следствие, больше тупых. Поэтом каждый раз нужно отправлять луч в минимальный пучок. Если число лучей кратно трем, то они распределяются поровну. В нашем случае по 10 лучей на брата. Осталось найти само количество тупых собратьев.

Конкурс Кенгуру по математике 7 класс. Пучки лучей Каждый луч из первого пучка образует 10 тупых углов с каждым лучом из второго пучка. Тогда образуется 10 \cdot 10 = 100 углов — мостиков между двумя пучками. Таких парочек 2 штуки и от каждой имеем по 100 углов. Всего, очевидно, их 100 + 100 + 100 = 300 штук.

Оцените качество объяснений

Оцените по 10 бальной шкале качество объяснений репетитора
  • Укажите свою оценку

С уважением, Александр Николаевич, репетитор по математике — Москва. Строгино. Занятия с олимпиадными учениками в удобное для вас время.

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Андрей октября 26, 2015 в 17:51

Мягко говоря — не решение. Максимальность не обоснована. Хотя конструкция построена верно. Задача имеет «чистое» комбинаторное решение. 10-ти классники обобщили её в пространстве для 6n лучей.

Колпаков А.Н. октября 27, 2015 в 5:52

Формально — Да. Но комбинаторику в 7 классе не изучают. И я сомневаюсь, что комбинаторно можно 100% аккуратно обосновать максимальность. Пришлите Ваше решение, с удовольствием его опубликую.

Оставьте комментарий