Разберем решение одной древней олимпиадной задачи по математике для 7 класса с популярного конкурса Кенгуру. Выполняю просьбу одного из посетителя сайта, который не сумел справится с ней самостоятельно и прислал соответствующий запрос на подробное объяснение. Статус репетитора по математике с одной стороны обязывает снимать любые учебные вопросы, однако не всякий репетитор подскажет решение нестандартной олимпиадной задачки. И тем более редко когда ученик получает от преподавателя истинно ясное и полное разъяснение, соответствующее его возрасту. На страницах моего сайта Вы можете учиться этим объяснениям, а также размещать свои версии любых интересных задач, даже тех, которые уже оформлены мной. Присылайте на почту свои оригинальные тексты с решениями. Я с великим удовольствием и благодарностью их опубликую, а также поставлю ссылку на анкету приславшего их репетитора по математике.
Задача про углы с конкурса Кенгуру для 7 класса.
Вовочка провел из одной точки 30 лучей. Какой максимальное число тупых углов у него могло получится?
Будем строить лучи по одному, обеспечивая на каждом этапе появление максимального количества дополнительных (новых) тупых углов. Если удастся добиться единого характера пошагового построения, то, действуя по индукции, можно будет составить алгоритм для обеспечения максимума углов при любом заданном количестве лучей.
Если Вовочка проведет 3 луча, то рисунок с максимумом тупых углов будет похож на знак мерседеса. Репетитор по математике вычерчивает соответствующий рисунок:
Как провести четвертый луч, чтобы он образовал как можно больше новых тупых углов с уже имеющимися лучами? В наличие 3 области по 120 градусов каждая. Если новый луч не прижать к границе одной из них, а разрезать зону на 2 «крупные» части, то он не сможет образовать острые углы с двумя ее границами. Если прижать, то острым будет только один новый угол, а остальные (их 2 штуки на данном этапе) окажутся тупыми. Это оптимальный ход. На каждом следующим шаге встраиваемый луч снова не должен резать зону на части, а поэтом его следует также прижимать. Только границами зон уже будут целые пучки лучей. Возникает вопрос: «К какому именно пучку репетитору по математике прикрепить новый лучик?
Размышляем так: новый луч не сможет образовать тупых углов только с лучами его пука. Поэтому чем меньше лучей в пучке, тем меньше острых углов получится и, как следствие, больше тупых. Поэтом каждый раз нужно отправлять луч в минимальный пучок. Если число лучей кратно трем, то они распределяются поровну. В нашем случае по 10 лучей на брата. Осталось найти само количество тупых собратьев.
Каждый луч из первого пучка образует 10 тупых углов с каждым лучом из второго пучка. Тогда образуется 
углов — мостиков между двумя пучками. Таких парочек 2 штуки и от каждой имеем по 100 углов. Всего, очевидно, их 
штук.
С уважением, Александр Николаевич, репетитор по математике — Москва. Строгино. Занятия с олимпиадными учениками в удобное для вас время.
{ 4 комментариев… прочтите их или напишите еще один }
Мягко говоря — не решение. Максимальность не обоснована. Хотя конструкция построена верно. Задача имеет «чистое» комбинаторное решение. 10-ти классники обобщили её в пространстве для 6n лучей.
Формально — Да. Но комбинаторику в 7 классе не изучают. И я сомневаюсь, что комбинаторно можно 100% аккуратно обосновать максимальность. Пришлите Ваше решение, с удовольствием его опубликую.
Общее решение для 3n лучей на плоскости:
Проведя 3n лучей с общим началом получим 3n*(3n-1)/2 углов. (Для случая n=10 — 435 углов). Раскрасим лучи в n цветов так, что между лучами одного цвета находится ровно n-1 луч. (1,2,3, …,n,1,2,3…,n, 1,2,…,n по кругу ). Теперь рассмотрим лучи только двух любых цветов. ( Остальные мысленно уберём). Эти шесть лучей делят угол в 360 градусов вокруг начала на 6 углов, и, следовательно, как минимум 3 из них — острые. Заметим, что стороны каждого из этих «лоскутов» имеют разный цвет. Таким образом, для каждой пары цветов, как минимум 3 угла со сторонами, окрашенными в эти цвета — острые!
Всего пар цветов n*(n-1)/2. Значит, на любом из рисунков Вовочки будет как минимум 3n*(n-1)/2 острых углов! (Для случая n=10 — 135 углов). Тогда максимальное количество тупых углов на чертеже равно (3n*(3n-1)/2) — (3n*(n-1)/2) = 3n*n (Для случая n=10 — 300 углов)!
Осталось только привести пример конструкции, которая иллюстрирует возможность достижения этого результата.
Ваша конструкция из 3-х пучков по n лучей и является необходимой иллюстрацией. (В ней 3n*2n/2 =3n*n тупых углов).
Задача действительно неплоха для продолжения исследования в «трёхмерке»)