Репетитор по математике о том как «дурят» восьмиклассников

Несмотря на то обстоятельство, что математика – наука безупречно точная, школьная программа не может похвастаться полнотой и строгостью изложения. Белые пятна возникают в обоснованиях простых фактов, которые, казалось бы, и объяснять не нужно. Сильному ученику может и не надо, а вот слабый просядет именно в этот момент. Как правило, репетитор по математике с последним типом учеников сталкивается чаще, чем с первым, поэтому особую ценность приобретаюсь способности репетитора заполнить эти пятна точными объяснениями настолько, насколько это вообще возможно. Но откуда их взять? Средний репетитор — всего лишь выпускник технического Вуза (хорошо если педагогического), поэтому в основании математики (матанализа) вперемешку с теорией множеств слабо разбирается. В учебниках пробел, а ребенка надо вытягивать. Именно для этих целей я виду методические странички, на которых делюсь с коллегами своим личным опытом работы.

Приведу конкретный пример одного важного момента изложения курса школьной математики. Вспомните, как в 7 — 8 классе (по разным программам в разное время) учат строить график функции $y=x^2$ . Составляется таблица значений с удобными точками, которые потом переносятся на рисунок. Но, отметив конечное количество точек на координатной плоскости, карандаш репетитора (преподавателя) совершает ловкий маневр – проводит через них непрерывную линию. Стоп! Почему именно непрерывную? А вдруг график состоит из кусочков? Конечно, с понятием «непрерывность» дети знакомятся только 10 — 11 классе (да и в 11-ом обосновывать ничего не умеют) и поэтому не станут задавать лишних вопросов. Да и факт вроде бы не архи важный. Но это только на первый взгляд.

Следом изучается тема «квадратный корень» и репетитору по математике придется объяснять, что любое неотрицательное число является чьим-либо квадратом. В случае отсутствия разъяснения ребенок что называется отправится в «далекое плавание», ибо не сможет понять, что означают следующие записи $\sqrt{7}, \sqrt{2+\sqrt{3}}$ , а впоследствии $\sqrt{sinx}$ , $\sqrt{log_3 2}$ и т.д.

Конечно, более-менее строгое доказательство непрерывности в 8 классе даже с репетитором по математике не потянуть.

Однако, на своем личном опыте я убедился в том, что достаточно обосновать отсутствие на параболе «скачка» (кликните на рисунке для его увеличения). Действительно, монотонный характер параболы объяснятся довольно просто.

Для того, чтобы убедить восьмиклассника в отсутствии скачкообразного поведения графика достаточно указать положительное число $x$ , при котором $(a+x)^2$ < $b$ . В качестве такого X можно взять любое положительное число, удовлетворяющее двум условиям: $x$ < $\dfrac{b-a^2}{4a}$ и $x^2$ < $\dfrac{b-a^2}{2}$ . Если вдумчивый ученик поставит вопрос на последнем условии, репетитору по математике достаточно будет указать, что увеличивая степень числа 0,1, можно добиться значения, заведомо меньшего любого положительного числа $b$ Тогда для выполнения второго неравенства примем $x=0,1^n$ .