Повседневная рутина репетитора по математике чаще всего связана с подготовкой к ЕГЭ / ОГЭ, в связи с чем некоторые интересные задачи и разделы остаются «за кадром». Одним из наиболее пострадавших от идеологов ЕГЭ разделов математики является тригонометрия. Действительно, вычисления синусов и косинусов — отнесены к простым номерам первой части, а тригонометрические уравнения к простой части профильного экзамена. Невысокие баллы наводят на мысль, что легкой является вся тригонометрия в целом. Однако это не так и иногда к репетитору обращаются за помощью в решении действительно содержательных сложных задач, какими являются, например, вычисления без помощи таблиц.
Рассмотрим одну из них — поиск синуса 18 градусов. Заметим, что традиционные методы преобразований исходного выражения по формулам двойных, тройных углов, суммы и произведения функций здесь не помогут.
Начнем с последовательности очевидных равенств:
(применили формулу приведения)
(формула тройного и двойного углов)
Последнее равенство говорит о том, что является корнем уравнения
или после упрощения
Очевидно, что является одним из его корней.
Следовательно по теореме Безу многочлен из левой части может быть разложен на множители, один из которых , а второй можно получит либо делением уголком, либо по схеме Горнера, либо непосредственными преобразованиями, выделяющими множитель . Они представлены ниже:
Выносим t-1 за скобку:
Приравнивая каждый множитель к нулю и решая полученное квадратное уравнение от второго множителя, получим три корня начального уравнения:
Первые два корня не подходят, как как 18 градусов — угол первой четверти и поэтому , а <
Остается ответ:
Я намеренно решил уравнение выделением t-1, дабы репетитор по математике мог обойти два других алгоритма, на изучение которых не всегда хватает времени.
Если Вам нужна практика решение задач по тригонометрии без помощи таблиц — приезжайте ко мне в Строгино на занятия.
Ваш покорный слуга — репетитор по математике, Колпаков А.Н. Москва.
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }