Математика в музыке

by Колпаков А.Н. on 7 сентября 2016

Школьное обучение математике почти повсеместно происходит в абсолютном отрыве от реальности. Кажется, что функции, формулы, преобразования, числовые множества, уравнения, неравенства живут своей обособленной жизнью. «Зачем все это нужно?», — по праву спросит неосведомленный ученик. Если репетитор по математике умеет отбиться от философского любопытства своего воспитанника – можно считать, что он наполовину справился с локальной мотивационной задачей. Именно для этого я отрыл энциклопедический раздел сайта, в котором объясняю широким массам учащихся и преподавателей где и как можно применить школьные знания. Поговорим о прекрасном, а именно о музыке. Неужели в нотах живет математика? Конечно.

Что такое звуковой тембр? Это результат создания музыкальным инструментом звуковых колебаний (отклонений молекул воздуха относительно положений своих равновесий) через различные средства коннекта с окружающим его пространством. Характер этих колебаний позволяет нашему мозгу классифицировать звуки по их принадлежности к тому или иному классу инструментов (скрипка, гитара, рояль, барабан и т.д).

синус

В каждый момент времени (t секунд) величина отклонения молекул воздуха от положения равновесия, измеренная в выбранной фиксированной точке пространства (вблизи барабанной перепонки ушной раковины человека), меняется по некоторому функциональному закону y=f (t). Эти законы могу быть гармоническими (благозвучными) или негармоническими (хаотичными, не благозвучными).

Любой звук настроенного пианино, гитары, скрипки и даже голоса (вокала), «попадающего в ноты» генерируют именно гармонические колебания. Они соответствуют функциям вида f (t)= mSin (ax+b) с некоторыми параметрами m, a и b. Спросите вашего репетитора по математике о характере графиков таких функций. Это синусоиды – ровные гладкие линии, плавно «вьющиеся» вокруг оси Ох. Если музыкальный инструмент издаст звук, звуковое колебание которого будет соответствовать этому «чистому» синусу, то мы услышим скучный гнусавый (а при некоторых высоких значениях числа «а»и вовсе неприятно — писклявый) сигнал Пи-и-и-и…

Чистый синус на графике репетитора по математике
В чем его отличие, например, от звука какого-нибудь цифрового синтезатора? Оно в том, что график «музыкального синуса», говоря языком специалистов по звуковым волнам, «промодулирован», то есть в целом похож на синусоиду, но имеет в отличие от нее  множество искажений с характерными «заусенцами» как будто график рисовал дрожащей рукой пьяный репетитор по математике :).Заусенцы синтезатора репетитора по математике Если серьезно – вид заусенцев отображен на рисунке волны звука синтезатора. Кликните на нее для увеличения.

От того как промодулирован сигнал зависит результат распознания нашим мозгом звучащего инструмента.

Если мы нажмем клавишу «ля» первой октавы фортепиано или того же синтезатора, то значение числа «a» в скобках у соответствующего этому звуку синуса должен быть таким, чтобы основной период \dfrac{2\pi}{a} функции f (t)= mSin (ax+b) успел «проскочить» (уложиться) в 1 секунде ровно 440 раз. (1 герц – частота колебания, при которой период (одно колебание) происходит за 1 секунду). В процессе объяснений про герцы репетитор по математике может подбросить отличную практическую задачку ученику: найдите коэффициент «a» для частоты чистого синуса в 440 Гц.

Если мы нажмем соседнюю ноту «си», то несущая частота синуса будет уже иной. Но какой? Как рассчитываются частоты всех нот? Эти расчеты производятся по формуле n-го члена геометрической прогрессии. Отрабатывалась ли она с вашим репетитором по математике?

Музыка и математика - ноты

Математика нотных частот

Восприятие человеком мелодий весьма капризно. Еще в древности люди выяснили, что приятное благозвучие создается такой мелодией, ноты (частоты) которой используют равномерно распределенную гамму музыкального инструмента по частотной оси. Что это значит? Равномерное распределение (равномерный строй) – такой набор нот, при котором отношение (результат деления) частот соседних нот является величиной постоянной. То есть частота каждой следующей ноты в ряду получается из меньшей (более низкой) частоты соседней ноты умножением на одно и то же число (а в обратную строну – делением). В итоге все частоты будут являться членами геометрической прогрессии вида f_n=f_1 \cdot q^{n-1}, где f_1 – условно выбранная частота, называющаяся канонической. В наши дни канонической частотой является 440 Гц – нота «ля» первой октавы. Если репетитор по математике в своих объяснениях ученику отойдет от привычного математикам условия n –натурально и придаст ей целое значение, то вышеуказанная формула будет просчитывать все частоты нот музыкального инструмента, как вверх по тону, так и вниз.

Вычислим постоянную q. Октава – это диапазон частот, отличающихся ровно в 2 раза. По музыкальному стандарту в октаве 12 нот, поэтому

f_{n+12}=2\cdot f_n

Подставим в левую и правую часть этого равенства соответствующее выражение с формулы n-го члена, получим:

f_1 \cdot q^{n+12-1}=2 \cdot f_1 \cdot q^{n-1}

Сокращая обе части на f_1 \cdot q^{n-1} имеем:

 q^{12}=2 \implies q=\sqrt[12]{2}

Нехитрые вычисления репетитора

Получив это значение репетитор по математике без труда вычисляет с учеником частоты всех клавиши фортепиано.Как репетитор по математике вычисляет частоты Обычным многократным умножением канонической частоты 440 Гц на q=\sqrt[12]{2} . Естественно на калькуляторе. На соответствующем рисунке показаны вс частоты первой и второй октав. Кликните мышкой на рисунок для увеличения.

Колпаков А.Н. Москва. Уроки по математике в Строгино.

Метки: Занимательный репетитор по математике, Мотивация обучения, Репетиторам по математике, Ученикам

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий