Как репетитору по математике в 4 — 5 классе сложить натуральный ряд

by Колпаков А.Н. on 7 октября 2016

Воговорим о том, как репетитор по математике в 4 — 5 классе может преподнести ученику правило сложения последовательных чисел натурального ряда. Довольно часто олимпиадные вопросы для маленьких легко решаются средствами старшей школы и на вопрос о том, как, например, сложить все числа от 1 до 99 хорошо успевающий по математике старшеклассник скажет: «Воспользуемся формулой суммы для арифметической прогрессии». Проблема в том, что в 4 — 5 классе дети еще не слышали ни о каких прогрессиях. Поэтому просто не поймут репетитора. Как быть? Есть несколько способов объясниться на элементарном уровне, один из которых фактически повторяет доказательство для 9 класса с той лишь разницей, что оно адаптировано для его изучения в младшем школьном возрасте.

Четное число слагаемых

Самый простой вариант для растолкования. Ограничимся примером суммы чисел от 1 до 100. Разобьем весь ряд на пары: первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и т.д. Сумма в каждой паре равна 101, а парочек 100:2=50 штук. Поэтому сумма всех чисел равна 101 \cdot 50 = 5050 . Репетитор по математике дает схему
Репетитор по математике дает схему, которой все понятно без лишних слов.

Борьба репетитора по математике с нечетным числом слагаемых

А если число слагаемых нечетно? Что делать? Возможны два пути:
1) Добавить в начало или конец ряда еще одно такое слагаемое дополнительно, затем найти полученную сумму с четным числом слагаемых (аналогично предыдущему случаю) и вычесть использованный довесок из ответа
2) Фактически вывести соответствующую формулу арифметической прогрессии. Для этого никаких специальных знаний за 9 класс не нужно. Внизу под нашим рядом в обратном порядке разместим такой же ряд из тех же чисел. То есть репетитор по математике переворачивает исходный ряд:

Как репетитор по математике борется с нечетностью

В каждой колонке получим одинаковую сумму, равную 101 — сумме первого и последнего слагаемого. Таких колонок будет столько же, сколько имеется чисел в исходном (верхнем) ряду. Поэтому, чтобы найти полную сумму вместе с ним достаточно умножить колоночную сумму на число колонок, то есть 101 \cdot 50 = 5050. Далее репетитором по математике объясняется, что полученный результат оказывается в 2 раза больше искомого (олимпиадный ученик это легко поймет даже без репетитора). Тогда станет очевидно, что ее осталось поделить на 2.

{ 3 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Александр П. октября 10, 2016 в 8:37

То что у всех пар одинаковая сумма даётся легко. А как проще объяснить про количество пар, так чтобы сомнений не было?

Я думаю, по аналогии с меньшей выборкой чисел, типа от 1 до 10, чтобы можно было вывести формулу и проверить «на пальцах»

Колпаков А.Н. октября 10, 2016 в 13:10

Из опыта и практики репетитора по математике — вопрос о количестве пар, если число чисел в ряду четно, у сильных детей, как правило, не возникает. А если возникает, то, скорее всего, нет смысла ориентироваться на решение олимпиадных задач. Если же мы говорим о средних способностях 4 — 5 классе, то уменьшение числа объектов в сочетании с непосредственной проверкой утверждения (иногда и на пальцах) действительно спасает репетитора от погружения ученика в астрал :).

Александр П. октября 10, 2016 в 22:01

да уж, астрал — весьма подходящий термин)) очень похоже

Оставьте комментарий