ЕГЭ по математике 2013г. Задача С3 с решением репетитора

Для подготовки к будущему ЕГЭ в 2014 году и повторения пройденного по математике за 5 — 11 класс старшеклассникам предлагается изучить содержание последнего экзамена 2013г. Решение вопроса об обращении к репетитору по математике во многом зависит от осознания степени понимания соответствующих задач (от простых типовых до сложных конкурсных). Показательные демонстрации номеров С1 — С6 от профессиональных преподавателей, в частности мои решений, безусловно помогают определиться с формой и интенсивностью подготовки к ЕГЭ. Изучите каждое решение и сравните его со своим. Прежде чем посмотреть на какие приемы и методы делает ставку репетитор по математике в интересующем Вас номере, попробуйте самостоятельно поикать ключи к решению разобранной задачи. Удачного поиска!

Задача С3 с ЕГЭ 2013г.
Задание С3 с ЕГЭ по математике 2013 г

Изучим первое неравенство системы. Оно логарифмическое, причем достаточно простое. Для его решения репетитор по математике перебрасывает число -4 в левую часть:

Репетитор по математике переносит слагаемое -4  в левую часть

Далее оно представляется в виде логарифма с основанием 3-x:

Сумма логарифмов

Напрашивается использование известного логарифмического тождества \ log_c a + \log_c b = \log_c a \cdot b , преобразующего на области допустимых значений сумму логарифмов с равными основаниями в логарифм произведения. Заметим, что в нашем случае из-за неотрицательности четвертой степени скобки (3-x) ОДЗ неравенства вообще не поменяется.

Переходим к равносильной замене:

Репетитор по математике сокращает скобки под логарифмом

Репетитор по математике сокращает скобки под логарифмом и задача сводится к решению довольно простого логарифмического неравенства с единственным знаком логарифма.

Логарифм после сокращения

Воспользуемся редким и очень полезным свойством (не входящим в школьные программы), а именно: знаки разности и нули выражения \log_{a(x)}f(x) - \log_{a(x)}g(x) совпадают на ОДЗ со знаками разности и нулями произведения (a(x)-1)(f(x)-g(x)) . С учетом этого факта (докажите его самостоятельно) последнее неравенство будет равносильно следующей системе:

Равносильная система

Окончательно упрощаем неравенства, приводя тем самым систему к наиболее удобному виду для поиска пересечения:

Более удобная система для поиска пересечения

Три последних условия определяют ОДЗ неравенства, а первое (основное) превращается в обычное квадратное. Для интерпретации его ответа репетитор по математике использует обычный рисунок:

Интерпретация ответа квадратного неравенства от репетитора по математике

ОДЗ удаляет из множества решений правую границу отрезка, а именно точку x=2. Для итогового пересечения репетитору подойдет следующая иллюстрация:

Репетитору подойдет следующая иллюстрация

Решим рациональное неравенство начальной системы. Для этого перенесем число -4 из правой части в левую и соберем все слагаемые в единую дробь.

Перенесем 5 в левую часть

Приведем к общему знаменателю левую часть

Раскроем скобки в числителе и сложим подобные слагаемые. Уничтожение четырех последних слагаемых показано репетитором по математике разным количеством соответствующих линий:
Уничтожение репетитором по математике четырех слагаемых

На завершающем этапе нам предстоит решить элементарное дробное неравенство. Оно имеет простейший вид для метода интервалов:

Простейший вид для метода интервалов

Покажем на оси Ох распределение знаков дроби.

Распределение знаков дроби. Рисунок репетитора

Рисунок репетитора по математике отображает важную деталь ответа. Не забудем включить вырожденную точку x=0, замаскированную окружающими ее знаками «плюс».

Осталось найти пересечение найденных ответов

Пересечение ответов

Перед вами окончательный ответ репетитора по математике:
Окончательный ответ репетитора по математике

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Екатерина марта 9, 2014 в 21:32

Спасибо большое. Решение, действительно, очень понятно, написано доступно. Я рада, что попала на этот сайт. Буду здесь «обывать» почаще. Еще раз спасибо.

Всегда с благодарностью
Екатерина.

Алтынай мая 18, 2014 в 12:08

Очень понятно и разборчиво. Решение помогло вспомнить многие темы, касающиеся логарифма. Спасибо…

Оставьте комментарий