Формулы Кардано. Справочник репетитора по математике

При решении кубического уравнения вида x^3+px+q на множестве комплексных или действительных чисел можно использовать формулу Кардано:
x= \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{ \left ( \dfrac{q}{2} \right )^2 +  \left ( \dfrac{p}{3} \right )^3 }} +  \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{ \left ( \dfrac{q}{2} \right )^2 +  \left ( \dfrac{p}{3} \right )^3 }} .

Замечание репетитора по математике:
Уравнение имеет три действительных корня тогда и только тогда, когда выражение
\vartriangle =  \left ( \dfrac{q}{2} \right )^2 +  \left ( \dfrac{p}{3} \right )^3  — отрицательно.

Если \vartriangle = 0  — два действительных корня (один из них двукратный), исключение p=0, q=o, когда все три корня совпадают.

Для поиска решений кубического уравнения на множестве действительных чисел (в первом случае) нужно помнить о том, что для любого ненулевого комплексного числа существует ровно два квадратных корня и ровно 3 кубических. Поэтому при пересмотре всех возможных вариантов вычисления радикалов получится 36 случаев. Чтобы сократить этот перебор нужно действовать так: придать первому кубическому корну три возможных значения, а в качестве соответствующих значений второго брать только комплексно — сопряженные к ним числа. Действительные корни уравнения будет равны удвоенным действительным частям трех значений первого корня.

Репетитор по математике Москва. Строгино. Колпаков А.Н.