Как репетитор по математике находит значения тригонометрических функций

Ох, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии. Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом сидит репетитор по математике и разжевывает каждую мелочь. Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные … Недавно один начинающий репетитор по математике прислал письмо, в котором попросил рассказать о методике практической работы с формулам приведения. Его ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, Sin \left ( \frac{-17 \pi}{3} \right ) . С огромным удовольствием удовлетворяю его просьбу.

Cразу отмечу актуальность темы, ибо подготовка к ЕГЭ по математике обязывает репетитора включить в план работы разбор номера B7 (по новому стандарту ЕГЭ 2012 года). С высокой вероятностью можно предположить, что именно тригонометрические вычисления составят содержание задачи B7 на реальном экзамене.

Итак, будем считать, что репетитор по математике определил с учеником, что такое синус и косинус, объяснил радианы, свойства четности и нечетности тригонометрических функций, повторил или изучил заново технику преобразований по формулам приведения. Какой материал следует разобрать после этих обязательных этапов? Безусловно, нужно научить вычислять синусы и косинусы для углов, расположенных вне первой четверти. Уверен, что опытный репетитор по математике не откроет в алгоритме ничего нового с точки зрения математики, но какие-то коррективы, возможно, внесет по части методики.

Долгое время я относился к изложенному ниже приему как к единственному в данной теме, пока не столкнулся с разными ошибками в подходах других репетиторов по математике и школьных преподавателей (через школьные тетеради своих учеников). Оказывается, что некоторые преподаватели, например, переводят углы в градусы и вычисляют через них.

Задача репетитора по математике в работе с произвольными углами состоит прежде всего том, чтобы предложить четкий алгоритм приведения угла к острому. Очень важно разбить его на этапы и продумать комфортные для восприятия комментарии к каждому из них. Итак, приступим.

Я предпочитаю сразу начать с варианта, в котором придется выполнить все пункты общего алгоритма. Почему? Основная работа репетитора по математике должна быть направлена на запоминание приема, ибо смысловая работа, осталась в пройденных темах, когда изучались определения тригонометрических функций, формулы приведения и действия с углами.

Именно по этой причине репетитору по математике стоит начать с примера, в котором под знаком синуса стоит отрицательный угол.

1) Ученик удаляет знак минус по свойству четности / нечетности. Это обязательная и первоочередная операция. Если проводить дальнейшие преобразования вместе со знаком, то репетитор по математике потеряет в дальнейших этапах своего алгоритма возможность дать четкие и удобные описания действий с радианами. Вынесение (удаление) знака учащимися производится, как правило, без каких-либо проблем, если помнить соответствующие свойства. Если репетитор по матем атике обратит внимание на то, что косинус – единственная из изучаемых четная функция, то проблем не будет вообще.

2) Удаление «полных оборотов». Репетитор показывает, как можно заменить положительный угол \frac{17 \pi}{3} тем, который находится в промежутке от 0 до 2 \pi . Для этого из дроби \frac{17}{3} выделяется целая часть. При этом буква \pi располагается в виде множителя рядом с правильной дробью, то есть получается 5\frac{2}{3} \cdot \pi . Поскольку при вычитании из этого угла полного оборота, то есть угла 2 \pi , мы вычитаем 2 из коэффициента 5, то репетитору по математике не составит труда донести до ребенка логику многократного вычитания «полного оборота», то есть вычитания из 5 ближайшего четного к нему числа. Я специально выбираю для демонстрации алгоритма угол, в котором остается целая часть, равная единице. Почему? Если репетитор по математике начнет с нуля целых, то из поля зрения ученика ускользнет важный этап алгоритма: перевода в неправильную дробь полученного коэффициента для сравнения с оновными углами. Слабый ученик вряд ли догадается до этого самостоятельно. В результате все равно придется разбирать вариант с единичкой и тратить лишнее время. Лучше использовать его для самостоятельной работы ученика.

3) Перевод дроби в неправильную: 1 \dfrac {2}{3} \cdot \pi = \dfrac{5}{3} \cdot \pi = \dfrac{5 \pi}{3}. Важно удалить целую часть, чтобы она не мешала в дальнейших сравнениях.

4) Определение четверти, в которой лежит угол. Для этого нужно сравнить его с основными углами, приводя их к общему знаменателю. Как репетитор по математике упрощает работу ученика? Углов то 4 штуки: \dfrac{\pi}{2}, \pi \dfrac{3\pi}{2}, 2 \pi . Если изучается угол со знаменателем 3, то с учетом необходимости сравнивать его с \dfrac{3\pi}{2} придется менять оба знаменатеоля на 6. Это не совсем удобно. Какое решение предлагает репетитор по математике для сравнения? Надо исключить из процесса дробные основные углы. Почему? Для определения четверти репетитору хватит \pi и 2\pi . Их удобнее подстроить под любой знаменателю изучаемого угла из задания. В нашем примере получаем \dfrac{3\pi}{3} и \dfrac{6\pi}{3}. Понятно, что \dfrac{5\pi}{3} находится ближе к \dfrac{6\pi}{3} чем к \dfrac{3\pi}{3}. Поэтому вопрос о четверти снимается. C гордостью отмечу, что за всю историю еще ни один ученик не промахнулся с ответом на вопрос о четверти после такой подготовки. Если репетитор по математике откажется от преобразования коэффициента перед \pi в неправильную дробь, то определить четверть будет сложнее.

Репетитор по математике обязывает иллюстрировать решение.

Я настоятельно рекомендую отмечать полученный угол на тригонометрическом круге после того, как определилась его четверть.Как репетитор по математике определяет четверть Основные углы \pi и 2\pi отмечаются как \dfrac{3\pi}{3} и \dfrac{6\pi}{3}. Это делается для того, чтобы не растерять информацию на этапе подбора главного персонажа всего алгоритма – приведенного угла. Затем репетитор по математике ставит перед учеником такую задачу: подобрать действие с ближайшим основным углом к углу \dfrac{5\pi}{3} и записать его под знак синуса. Можно добавить: «Ставим основной угол в скобку принудительно . Если репетитором по математике была проведена описанная выше подготовительная работа, выровнены знаменатели и сделан рисунок, то ученику не составит труда найти разность \dfrac{6\pi}{3}-\dfrac{5\pi}{3} и тем самым определить угол \dfrac{6\pi}{3}-\dfrac{5\pi}{3}, к которому сводится вычисление.

7) Остальное — дело техники. Ученик удаляет 2\pi по формуле приведения и обращается к таблице значений синуса для острого угла \frac{\pi}{3}.

Заключение: К сожалению дидактика всех без исключения школьных учебников по вычислительной части с радианами сильно хромает. Все что может найти репетитор — один или два номера, объединяющих задания на градусы и радианы. Но искать, например, Sin (-925^\circ) гораздо проще, чем выполнить эквивалентный подсчет в радианах. Я не советую репетиторам по математике переводить углы в градусы, ибо все основные операции в тригонометрии выполняются в радианах и в этой связи практика описанной выше работы ученика будет для него хорошей подготовкой к будущим задачам.

К сожалению репетитор по математике не в праве выбирать учебник. Это делает за него школа. Жаль, так как последовательность разбора тем по тригонометри в некоторых из них мгяко скажем не идеальная. До изучения формул приведения рассматриваются тригонометрические уравнения. И не только уравнения. Дети еще толком не осознали как считается синус и косинус, а им уже формулы двойного угла навязывают.

Александр Николаевич, репетитор по математике и тригонометрии. Москва.

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Александра января 27, 2014 в 22:08

Я тоже против того, чтобы переводить радианы в градусы — надо учиться считать и так , и так. Но у меня некоторые ученики гораздо быстрее переводят из радиан в градусы и обратно и быстрее производят различные математические операции с градусами, чем с радианами. Это касается только формул приведения, потому что некоторым с ходу трудно сообразить через какой основной угол дробный радиан легче выразить. Мне кажется, если у ученика быстрее получается через градусы, то репетитору по математике нечего ему навязывать другое. Тем более, что у экзамена время не резиновое.

Оставьте комментарий