Как репетитор по математике объясняет тему «производная»

К концу 9 класса школьники, по сути, заканчивают изучать алгебру и знакомятся с еще одной (более сложной) дисциплиной — математическим анализом. Всякий репетитор по математике знает, как нелегко дается старшекласснику работа с бесконечно малыми величинами. Особенно тяжело идут первые уроки, когда вводятся такие понятия, как «производная» и «касательная».

Темы тесно связаны друг с другом и довольно часто рассматриваются репетитором по математике одновременно. И не только потому, что они близки по смысловому наполнению и расположению в программе. Времени на их педантичное и подробное изучение всегда не хватает (обычно репетитор по математике занят устранением многочисленных пробелов в давно пройденном материале), да и способности большинства учеников не позволяют описывать поведение бесконечно малых величин с максимально возможной для подросткового восприятия математической строгостью. Как репетитору по математике объяснить производную? Как рассказать тему доступно и интересно?

Долгое время я не рассматривал методики учебников как опорные, считая классические изложения темы «производная» неприемлемыми для большинства старшеклассников (если не считать одаренных детей). Техника моих объяснений принципиально отличалась от «официальной» до того момента, пока не был переиздан учебник Колмогорова. Каково же было мое изумление, когда в исправленном варианте я встретил ту же самую идею с представлением графика в виде бесконечного количества мелких отрезков, которую я старался вложить в сознание своих учеников на уроках по математическому анализу. Разница между моим приемом и тем, что предалгал Колмогоров была, но отправная точка совпадала. Обо всем по порядку.

Разные учебники в разное время по-своему подходили к адаптации курса высшей математики для школьного восприятия. И обычно сначала вводилось понятие «производная», а уже затем объяснялась касательная. Да, такой порядок подошел бы и репетитору по математике, будь его ученик «семи пядей во лбу», а обычная программа содержала главу «предел функции». К сожалению, из-за высокой сложности пределы практически полностью были исключены из базовых учебников, в связи с чем репетитор по математике оказался лишен точного инструмента для объяснений (если конечно не уходить в сторону от программы). Поэтому для средних и слабых детей приходилось искать какие-то обходные варианты подачи материала.

Один из способов — замена слова «предел» на более понятную фразу «то, к чему стремится …» или на «то, к чему приближается». Однако, отсутствие смысловой привязки нового понятия к аналитическим формам позволяло репетитору по математике свободно изъясняться только до момента перехода к обоснованию правила вычисления производной. Учебники стремятся как можно быстрее выйти на классическое определение через предел отношения . К сожалению, большинство репетиторов по математике стараются еще больше ускорить переход к аналитике и дают его без какой-либо предварительной подготовки, порождая тем самым волну непонимания со стороны учеников. Ситуация осложняется тем, что при неудачной логике объяснений практически невозможно внятно объяснить взаимосвязь между «числом, к которому стремится» и касательной. Репетитору по математике придется увести ученика в строгие доказательства с бесконечно малыми, которые только еще больше его запутают. Какой выход можно найти из сложившейся ситуации и как донести тему слабому ученику?

Я советую репетиторам по математике придерживаться следующего порядка изложения:
1) Сначала объяснить смысл слов «приближается», «стремится», то есть фактически ввести термин «предел». Это можно сделать на описательном без строгого математического определения на языке окрестностей. Если найду время — напишу об этом.
2) Ввести понятие «касательная» на рисунке, использую особенность поведения графика вблизи точки при увеличенном масштабе.
3) Сравнить положение касательной с секущими и ввести строгое определение производной, используя знак предела.

В этой статье я опишу работу репетитора только со вторым и третьим пунктами.

Как репетитор по математике вводит производную?

Можно воспользоваться тем обстоятельством, что современные дети не могут и дня прожить без компьютера. Как правило, в старших классах многие из них уже умеют работать в сложных программах по обработке фотографий /музыки, загружают с сайтов различные электронные карты и, конечно же, умеют растягивать или сжимать изображения в своем планшете / смартфоне. Репетитор по математике, умеющий использовать интересы ребенка во благо обучения, получает очень хороший мотивационный плацдарм для объяснений понятия «касательная».

Я говорю ученику: «Представь себе, что ты сфотографировал график функции или построил его в какой-нибудь программе. Что собой представляет фотография / чертеж в любом цифровом формате? Набор точек определенной плотности и цвета, не более того. Если ты попытаешься увеличить картинку, то объекты станут более крупными, а изгибы линий уйдут за границы экрана, оставляя нам на обозрение только самые ровные кусочки. Можно представить себе результат увеличения, при котором эти кусочки выпрямятся практически до отрезков.

Компьютер не умеет рисовать окружности и показывает вместо них многоугольники с огромным количеством вершин. В масштабе 1:1 любой из них не отличишь от гладкой линии, но когда мы начинаем увеличивать размеры рисунка (во многих программах для этого предусмотрена соответствующая «лупа» или «зуммер»), то замечаем, как «окружность» превращается во множество крошечных отрезков. Нечто подобное происходит и с графиком функции». Репетитор по математике, знакомый с профессиональными чертежными программами, может загрузить ученику какую-нибудь из них, например AUTOCAD, и показать структуру объектов.

На эти отрезки используются репетитором по математике для дальнейших объяснений: «Они оказываются настолько крошечными после сжатия, что мы не можем отличить из от точек. Можно считать, что каждая из них привязана к определенной прямой, проходящей через концы соответствующего точки отрезка. Эта прямая называется касательной к графику, а ее угловой коэффициент называется производной (будем считать, что репетитор по математике повторил тему «угловой коэффициент» на предыдущем уроке). Итак, определения введены!. Остается найти способ вычисления производной по ее аналитическому выражению.

Практика показывает, что ученики лучше усваивают материал именно в такой обертке, так как наблюдения репетитора по математике имеет реальную визуальную основу (пусть даже не совсем точно отражающую понятие «график»).

Если нет под рукой компьютера или ребенок не может представить себе, что линия — это множество крошечных отрезков размеров в точку, репетитор по математике раскрывает смысл касательной немного иначе: «Если увеличивать масштаб рисунка в районе некоторй точки(представим себе компьютер, позволяющий как угодно растягивать чертеж), то с определенного момента мы четко увидим, что график функции практически ничем не будет отличаться от некоторой прямой. Это и есть касательная. На рисунке хорошо заметен отрезок MN — собирающий в себя все общие точки двух линий (хотя в

Чем сильнее окажется увеличение отрезка MN, тем больше будет его длина (в новом масштабе). Но если касательную повернуть хотя бы на миллиардную долю градуса, то, как бы мы не увеличивали размеры чертежа, аналогичного слияния не произойдет. Все равно будет заметен угол между новым положением прямой и «отрезком» графика.

Такой подход особенно полезен репетитору по математике для занятий с очень слабым учеником, на уроке с которым бесполезно вводить точное определение производной. Ему достаточно показать объект, о котором идет речь, и объяснить, как считаются его параметры (в нашем случае угловой коэффициент). Это лучше сделать сразу через табличные производные и правила вычисления (производную суммы, разности, произведения и частного)

Если у Вас не безнадежный случай, то после «визуальных» определений репетитор может передать аналитическому закреплению. Введенного понятия.

Переход репетитора по математике к аналитической форме

Возникает вопрос: как можно вычислить производную (угловой коэффициент касательной) к в точке ? Преподаватель проводит произвольную секущую через точку касания А и получает классический рисунок для данной темы. Он показан выше.

Положение точки B зависит от того, насколько ее абсцисса отклонена от абсциссы точки А. Величину этого отклонения репетитор обозначает привычным знаком . Далее записывается формула для поиска углового коэффициента этой прямой .

Если уменьшать , то точка B будет двигаться в направлении точки A. С какого то момент В окажется в той области точек графика, которая сливается с касательной. И чем меньше ,чем сложнее нам будет развести точки (при увеличении) по разным линиям. Значит, все меньше и меньше будут отличаться угловые коэффициенты прямой АВ и касательной, а поэтому угловой коэффициент касательной и будет тем числом, к которому приближается значение углового коэффициента прямой АВ. Эти рассуждения позволяют репетитору по математике подвести ученика к той мысли, что значение производной – это предел отношения при

Об использовании знака предела.
Математика — очень гармоничный предмет, в котором каждый символ имеет определенный логический смысл или несет какую-то практическую пользу. Удаление его из системы обозначений репетитора, как правило, ничего хорошего не приносит. Это напрямую относится и к знаку предела. Казалось бы, ну что тут такого криминального, репетитор по математике вполне может заменить его фразой «то, к чем стремиться». Но как тогда оформлять вычисления производной по определению? Как и где записывать условие ? Словами? После преобразований дроби , обычно выплывает какое-нибудь простенькое выражение, например . Надо бы поставить знак «равно» и написать , но объекты, которые будут приравниваться друг к другу, формально не сопадают, ибо слева стоит буквенное выражение, а справа число. Можно только указать ответ на другой строчке или направлять к нему стрелку , непривычную для восприятия ответа.

Если бы впереди стоял знак предела, то он был равен . Вроде бы мелочь, но в совокупности эти «мелочи» сказываются не только на формировании определенной математической культуры ведения записей, но и на восприятие логики производимых преобразований и вычислений.

Репетитор по математике, Колпаков А.Н. Москва. Строгино.